Considere um fio retilíneo muito longo de raio R e centrado ao longo do eixo z no qual passa uma corrente estacionária I (ao longo da direção z ), conforme mostra a figura abaixo. A corrente elétrica é distribuída de forma que sua densidade de corrente é dada por:   J → r = C r   k ^ (se 0 ≤ r ≤ R ), e 0 caso contrário, sendo C > 0 uma constante.

  1. Determine a corrente total I em função de C e R .
  2. Usando a lei de Ampère, encontre o vetor campo magnético   B → ( r ) na região 0 ≤ r ≤ R .
  3. Usando a lei de Ampère, encontre o vetor magnético   B → ( r ) na região r > R .

Passo 1

a) Precisamos nos lembrar aqui que o elemento de corrente d I atravessando o elemento de área d A relaciona-se com a densidade de corrente   J → ( r ) de acordo com

d I = J → r ⋅ d A →   ,

que é o produto escalar dos vetores   J → ( r ) d A → . A direção e sentido de  J → ( r ) o problema já deu para gente e agora temos que ver como fica  d A → . Para isso, vamos olhar a figura abaixo, que mostra o desenho do perfil do cilindro acima.

Nessa figura, colocamos vetor  d A → saindo do plano da página na mesma direção e sentido de   J → ( r ) , ou seja,   d A → = 2 π r d r   k ^ . Portanto, nesse caso temos que a corrente total I é:

I = ∫ 0 R J → ⋅ d A → = ∫ 0 R J r d A = 2 π C ∫ 0 R r 2 d r ⇒ I = 2 π C 3 R 3   .

Passo 2

b) A corrente i ( r ) dentro da região 0 < r < R produz um campo magnético que é sempre tangente a qualquer curva fechada C centrada no eixo O z . A direção e sentido do campo magnético é dada pelo vetor unitário  ϕ ^ , como mostra a figura abaixo.

Como colocamos na figura, a nossa amperiana, ou seja, a nossa curva fechada C , é um círculo de raio r que está orientado no sentido horário. Por isso, o campo magnético  B → é sempre paralelo ao vetor elemento de comprimento  d l → da amperiana.

Além disso,   B → depende da distância r ao eixo O z , mas tem o mesmo valor em todos os pontos sobre a amperiana. Por isso, o lado esquerdo da lei de Ampère pode ser escrito como:

∮ C B → ⋅ d l → = ∮ C B r d l = B r ∮ C d l = B r 2 π r .

Agora, para calcular o lado direito da lei de Ampère ( = μ 0 I i n t ), precisamos ter mais cuidado, porque através da área definida pela amperiana de raio r passa apenas uma parte i ( r ) da corrente total I . Para encontrar essa corrente, a gente tem que fazer a seguinte conta:

i r = ∫ 0 r j → ⋅ d A → = I i n t .

Em outras palavras, é repetir os passos do item a) só que tomando o cuidado com os limites de integração! Ok?

Se fazemos isso, teremos o seguinte:

i r = 2 π C ∫ 0 r r ' 2 d r ' ⇒ i r = 2 π C 3   r 3 = I i n t   ,

que é a corrente I i n t que passa através da área definida pela curva amperiana. Fechou?? Fica ligado nesse tipo de ideia, porque costuma cair bastante nessa parte... ;-).

Para matar essa parte, vamos juntar tudo:

B r 2 π r = μ 0 I i n t = μ 0 i r ⇒ B r = μ 0 I 2 π r 2 R 3 .

Portanto, o vetor campo magnético é escrito como:

B → = B r ϕ ^ = μ 0 I 2 π r 2 R 3 ϕ ^   .

Passo 3

c) O lado esquerdo da lei de Ampère continua o mesmo que no item anterior: B ( r ) ( 2 π r ) . Para termos o lado direito, agora vamos olhar para uma amperiana que tem raio r > R .

Nesse caso, a área da amperiana é atravessada por toda a corrente I . Por isso, teremos o seguinte:

B r 2 π r = μ 0 I ⇒ B r = μ 0 I 2 π r   .

Por isso, o vetor campo magnético é dado por:

B → = B r   ϕ ^ = μ 0 I 2 π r   ϕ ^   .

Resposta

  1. I = 2 π C 3 R 3   ;
  2. B → = B r ϕ ^ = μ 0 I 2 π r 2 R 3 ϕ ^   ;
  3. B → = B r ϕ ^ = μ 0 I 2 π r   ϕ ^   .

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