Responde Aí

Considere um fio cilíndrico circular, sólido, de raio R e com altura infinita, como mostrado na figura abaixo. Através de tal fio, há uma densidade de corrente elétrica estacionária, mas não uniforme dada por J → = C s 2 z ^ , onde C é uma constante positiva, s é a distância até o eixo Z do fio e z ^ o seu correspondente unitário.

(a) Determine a intensidade de corrente elétrica I t o t que passa através de uma seção transversal qualquer do fio. Sugestão: tome como elemento de superfície um anel de raio s e espessura infinitesimal d s .

(b) Sendo P um ponto arbitrário com coordenadas cilíndricas ( s ,   ϕ ,   z ) , informe qual(is) componente(s) do vetor campo magnético B → ( s ,   ϕ ,   z ) = B s s ,   ϕ ,   z s ^   +   B ϕ ( s ,   ϕ ,   z ) ϕ ^   +   B z ( s ,   ϕ ,   z ) z ^ é (são) nula(s), indicando ainda de que coordenada(s) ela(s), de fato, pode(m) depender. Justifique.

(c) Com base no resultado do item (b), identifique uma curva fechada e orientada C apropriada para a dedução do campo magnético, e determine uma expressão para a circulação de tal campo ao longo dela: Γ B C = ∮ C B →   .   d l →

(d) Aplicando a lei de Ampère, deduza expressões para o vetor campo magnético (i) fora ( R ≤ s < ∞ )

e (ii) dentro ( 0 ≤ s ≤ R ) do fio.

(e) Faça um esboço cuidadoso do gráfico do módulo de B → como funções de s , marcando explicitamente

quaisquer pontos relevantes.

Passo 1

Se liga! A expressão para a densidade de corrente é dada por

J → = C s 2 z ^ .

Podemos ver que ela não é dependente de z .

Sendo a corrente elétrica

I t o t = ∫ S J →   ,   n ^   d A

Como a densidade independe de z , podemos escolher uma seção transversal para calcular a corrente

I t o t = ∫ S C s 2 z ^   . n ^   d A

Se tomarmos n ^ na mesma direção de z ^ e um anel de raio s e espessura d s , podemos escrever que

d A = 2 π s   d s .

Substituindo essas informações

I t o t = ∫ 0 R C s 2 2 π s   d s = ∫ 0 R C s 3 2 π   d s = 1 2 π C R 4

Opa! Já acabamos de resolver o item (a).

Passo 2

No item (b), o vetor campo magnético é escrito como

  B → ( s ,   ϕ ,   z ) = B s s ,   ϕ ,   z s ^   +   B ϕ ( s ,   ϕ ,   z ) ϕ ^   +   B z ( s ,   ϕ ,   z ) z ^

E queremos saber qual(is) componentes são nulas.

Aqui devemos lembrar da lei de Gauss do magnetismo.

∮ S B →   .     n ^   d A = 0

Considerando a simetria cilíndrica, podemos tomar um cilindro fechado de raio R .

Aplicando a Lei de Gauss para as tampas inferior e superior e a borda temos.

∮ t , i n f B →   .     n ^   d A + ∮ t , s u p B →   .     n ^   d A + ∮ L a t e r a l B →   .     n ^   d A = 0

Considerando que as partes correspondentes a contribuição da parte inferior e superior se cancelam, temos

∮ L a t e r a l B →   .     n ^   d A = 0

B s s A L a t e r a l = 0

Isto implica que

B s s = 0 .

Como a orientação da corrente do cilindro está no eixo z , temos que haverá um campo ao redor deste cilindro. Sendo assim, podemos dizer que existirá campo na direção de ϕ ^ . Portanto

B → = B ϕ s ϕ ^ .

Passo 3

No item (c), queremos a circulação. Sendo assim, queremos

  Γ B C = ∮ C B →   .   d l →

Como já sabemos que só há campo é constante na direção ϕ ^ , e que o campo está em torno do nosso cilindro descrevendo uma circunferência, temos

  Γ B C = B ϕ ( s ) ∮ C d l →

Só precisamos lembrar do comprimento da circunferência.

  Γ B C = 2 π s   B ϕ s .

Passo 4

No item (d), queremos a campo dentro e fora do fio.

Fora do fio devemos levar em consideração a corrente total, já calculada anteriormente

I t o t = 1 2 π C R 4

Pela Lei de Ampère

B → = μ 0 I t o t 2 π s ϕ ^ = μ 0 C R 4 4 s ϕ ^ .

Para dentro a corrente é dada por

I D e n t r o = ∫ 0 s C s 2 2 π s   d s = ∫ 0 s C s 3 2 π   d s = 1 2 π C s 4

Agora vamos aplicar a Lei de Ampère

B → = μ 0 I D e n t r o 2 π s ϕ ^ = μ 0 I t o t 4 π R 4 s 3 ϕ ^ .

Passo 5

No item (e), precisamos montar um gráfico para o campo. Para isso podemos usar as informações do campo dentro e fora calculadas no item (d).

Repare que na parte de dentro o campo cresce com a distância s 3 e na parte externa decai com 1 / s . Daí temos o gráfico

Resposta

a )         I t o t = 1 2 π C R 4

b )     B → = B ϕ s ϕ ^

c )       Γ B C = 2 π s   B ϕ s

d )   F o r a :   B → = μ 0 C R 4 4 s ϕ ^  

d )       D e n t r o :     B → = μ 0 I t o t 4 π R 4 s 3 ϕ ^    

e )    

Exercícios de Livros Relacionados

41- Um supercondutor do tipo I I em um campo magnético exter
A figura 29-86 mostra uma seção reta de um condutor cilíndri
81- Um plano infinito que conduz uma corrente. Condutores re
82- Condutores retilíneos longos, com seções retas quadradas