Responde Aí

Em um condutor cilíndrico muito longo, maciço, de raio R passa uma corrente cuja densidade J varia quadraticamente com a distância ao eixo do cilindro: J = α r 2 , onde α é uma constante.

a ) Calcule a corrente I r através do disco de raio r mostrado na figura.

b ) Calcule o vetor B → para r < R .

c ) Calcule o vetor B → para r > R .

d ) Expresse α em função da corrente total I e R .

Passo 1

a ) Calcule a corrente I r através do disco de raio r mostrado na figura.

Por definição, a corrente e a densidade de corrente estão associados por:

J r = d I r d A

Logo:

I r = ∫ J r d A

Onde d A = 2 π r   d r é um pedaço infinitesimal da área. Portanto, fazendo as substituições, teremos:

I r = ∫ 0 r α r 2 . 2 π r   d r = 2 π α ∫ 0 r r 3 d r

I r = 2 π α r 4 4 0 r

I r = π α r 4 2

Passo 2

b ) Calcule o vetor B → para r < R .

Esse é um problema clássico de lei de Ampère, que é dada por:

∮ C   B → ∙ d l → = μ 0 I i n t

Devido à geometria do problema, podemos simplificar essa expressão para:

B 2 π r = μ 0 I i n t

B = μ 0 I i n t 2 π r  

Onde a corrente interna será a corrente que encontramos no item anterior. Logo:

B = μ 0 2 π r π α r 4 2

B = μ 0 α r 3 4

O campo magnético tem a direção e sentido determinados pela regra da mão direita, logo:

B → = μ 0 α r 3 4 θ ^

Passo 3

c ) Calcule o vetor B → para r > R .

Para r > R , a amperiana vai envolver completamente o condutor, logo:

I i n t = I R = π α R 4 2

Assim, seguindo o mesmo raciocínio que usamos anteriormente, teremos:

∮ C   B → ∙ d l → = μ 0 I i n t

B 2 π r = μ 0 I i n t

B = μ 0 I i n t 2 π r

Substituindo a expressão de I , teremos:

B = μ 0 2 π r π α R 4 2

B = μ 0 α R 4 4 r

Finalmente:

B → = μ 0 α R 4 4 r θ ^

Passo 4

d ) Expresse α em função da corrente total I e R .

Conforme vimos no item anterior, a corrente total é dada por:

I = π α R 4 2

Agora, o nosso único trabalho é isolar o α :

α = 2 I π R 4

Resposta

a )

I r = π α r 4 2

b )

B → = μ 0 α r 3 4 θ ^

c )

B → = μ 0 α R 4 4 r θ ^

d )

α = 2 I π R 4

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