Responde Aí

A figura abaixo mostra uma seção transversal de dois fios condutores longos, idênticos, com comprimento l , estendidos paralelamente um ao lado do outro ao longo da direção z . Por estes fios circulam correntes i 1 e i 2 , em sentidos opostos, sendo i 1 no mesmo sentido do eixo z , conforme a figura.

a ) Usando a lei de Ampère, calcule o vetor campo magnético de um fio infinito onde passa uma corrente i .

b ) Calcule a força de interação por unidade de comprimento que o fio 1 exerce sobre o fio 2. A força é atrativa ou repulsiva?

c ) Calcule a integral ∮ C B → ∙ d l → sobre o percurso C orientado no sentido anti-horário, conforme a figura.

Passo 1

a ) Usando a lei de Ampère, calcule o vetor campo magnético de um fio infinito onde passa uma corrente i .

Esse é um problema clássico de lei de Ampère, que é dada por:

∮ C   B → ∙ d l → = μ 0 I i n t

Para o caso de um fio infinito, vamos usar uma amperiana de formado circular, centrada com o fio.

Para esse caso, podemos simplificar a lei de Ampère para:

B 2 π r = μ 0 i

Onde I i n t = i é a corrente envolvida pela amperiana.

Logo:

B = μ 0 i 2 π r

A direção e sentido do vetor campo magnético são determinados pela regra da mão direita.

B → = μ 0 i 2 π r θ ^

Passo 2

b ) Calcule a força de interação por unidade de comprimento que o fio 1 exerce sobre o fio 2. A força é atrativa ou repulsiva?

A força magnética sobre um fio retilíneo é dado por:

F → = I L → × B →

Onde o vetor L → tem a mesma direção e sentido da corrente.

Assim, a força que o fio 1 exerce sobre o fio 2 será:

F → 12 = i 2 L → 2 × B → 1

Sobre o fio 2, o campo magnético gerado pelo fio 1 será:

B → 1 = μ 0 i 1 2 π d j ^

Além disso, L → 2 = l   - k ^ . Portanto:

F → 12 = μ 0 i 1 i 2 l 2 π d - k ^ × j ^

F → 12 = μ 0 i 1 i 2 l 2 π d i ^

A partir da imagem acima, podemos concluir que a força é repulsiva.

O último detalhe importante do problema é que ele pede a força por unidade de comprimento. Assim, para ficar tudo perfeito, só nos resta fazer:

F → 12 l = μ 0 i 1 i 2 2 π d i ^

Passo 3

c ) Calcule a integral ∮ C B → ∙ d l → sobre o percurso C orientado no sentido anti-horário, conforme a figura.

Se olharmos novamente pra lei de Ampère:

∮ C   B → ∙ d l → = μ 0 I i n t

Podemos ver que calcular a integral ∮ C B → ∙ d l → vai ser uma tarefa mais fácil do que parece.

A partir da lei de Ampère, a única coisa que temos que fazer aqui é calcular a corrente interna I i n t .

Como o problema disse que o percurso C está orientado no sentido anti-horário, de acordo com a regra da mão direita, vamos considerar as correntes que estão entrando no plano da página como negativas e as correntes que estão saindo do plano da página, como positivas.

Logo:

I i n t = i 1 - i 2

Portanto:

∮ C   B → ∙ d l → = μ 0 i 1 - i 2

Resposta

a )

B → = μ 0 i 2 π r θ ^

b )

F → 12 l = μ 0 i 1 i 2 2 π d i ^

A força é repulsiva

c )

∮ C   B → ∙ d l → = μ 0 i 1 - i 2

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