A figura abaixo mostra uma seção reta de um condutor cilíndrico oco de raios a e b que conduz uma corrente i , cujo vetor densidade de corrente J → é uniforme.

  1. Obtenha o módulo do campo magnético B r para r > a , b < r < a e para r < b ;
  2. Qual será o módulo de B → , no ponto P , situado em r = b , quando um fio com uma corrente 2 i for colocado tangencialmente ao longo do condutor cilíndrico, a uma distância a do centro deste?

Passo 1

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  1. Obtenha o módulo do campo magnético B r para r > a , b < r < a e para r < b ;
  2. Bom, como queremos calcular o campo magnético, nesse tipo de problema, a boa é sempre ir com a lei de Ampère:

    ∮ C   B → ∙ d l → = μ 0 I i n t

    Como o problema aqui tem uma simetria cilíndrica, todas as nossas amperianas (as curvas fechadas que usamos na integração) serão circunferências fechadas, de raio r (se trata justamente da linha pontinhada).

    Isso significa que podemos reduzir a lei de Ampère para:

    B 2 π r = μ 0 I i n t

    B r = μ 0 I i n t 2 π r

    O segredo agora é, para cada região, calcular a corrente interna I i n t e acabou o problema. Beleza?

    Passo 2

  • r < b
  • Nessa região, não teremos nenhuma corrente dentro da amperiana, logo:

    I i n t = 0

    B = 0

  • b < r < a
  • Nesse caso, a ampreriana pega só uma parte da seção reta do cilindro oco. Então, sabendo que a corrente total que passa pelo cilindro é i , podemos determinar I i n t com uma regra de três:

    i π a 2 - b 2 = I i n t π r 2 - b 2

    I i n t = i r 2 - b 2 a 2 - b 2

    Substituindo na lei de Ampère:

    B r = μ 0 i 2 π r   r 2 - b 2 a 2 - b 2

  • r > a
  • Essa região engloba todo o fio. Portanto:

    I i n t = i

    E substituindo na lei de Ampère:

    B r = μ 0 i 2 π r

    Passo 3

  • Qual será o módulo de B → , no ponto P , situado em r = b , quando um fio com uma corrente 2 i for colocado tangencialmente ao longo do condutor cilíndrico, a uma distância a do centro deste?
  • O campo magnético resultante no ponto P será a soma vetorial do campo magnético gerado pelo cilindro B c → com o campo magnético gerado pelo fio B f → .

    B → = B c → + B f →

    Para o cilindro, vimos no passo anterior que quando r = b , teremos:

    B b = μ 0 i 2 π r   b 2 - b 2 a 2 - b 2 = 0

    Isso significa que o cilindro não gera campo magnético no ponto P , isso significa que o campo magnético resultante será apenas o campo gerado pelo fio:

    B = B f

    Sabendo que o fio está a uma distância r = a + b do ponto P , usando a lei de Ampère:

    B = μ 0 I i n t 2 π r

    B = μ 0 2 i 2 π a + b

    B = μ 0 i π a + b

    Onde 2 i é a corrente que passa pelo fio.

    Resposta

    a.

  • r < b
  • B = 0

  • b < r < a
  • B r = μ 0 i 2 π r   r 2 - b 2 a 2 - b 2

  • r > a

B r = μ 0 i 2 π r

b.

B = μ 0 i π a + b

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