Responde Aí

1 . A densidade de corrente J → no interior de um fio cilíndrico muito longo e retilíneo de raio a é paralela ao eixo do cilindro. Seu módulo varia linearmente com a distância radial r de acordo com a equação J → ( r ) = ( J 0 / a ) r   k ^ , onde J 0 é uma constante.

( a ) Calcule o campo magnético B → ( r ) para r > a .

( b ) Calcule o campo magnético B → ( r ) para r < a .

Passo 1

Vem comigo e vamos resolver esse problema!

Para esse problema vamos usar a lei de Àmpere, dada por:

∮ C B → ⋅ d l → = μ 0 i i n t

Mas para achar o campo fora do fio pedido em ( a ) e o campo dentro do fio pedido em ( b ) precisamos traçar uma curva C nessas regiões para cada caso.

E teremos também que calcular a corrente i i n t interna cada circunferência, já que temos uma densidade de corrente. Vamos calculá-la da seguinte forma:

i i n t = ∫ S J → ⋅ d A →

Que em coordenadas cilíndricas, temos:

i i n t = ∫ 0 r J 0 a r 2 π r   d r

Onde r vai depender de onde vamos traçar a circunferência C , para uma circunferência com raio maior que o cilindro teremos r = a e para uma com raio menor teremos r = r .

Passo 2

Vamos começar com o item ( a ) . Para ele vamos traçar a seguinte curva:

Como podemos ver o campo B → tem a mesma direção que d l → logo temos que:

∮ C B → ⋅ d l → = μ 0 i i n t

⇒ ∮ C B d l = μ 0 i i n t

⇒ B ∮ C d l = μ 0 i i n t

Essa integral sobre d l na curva C nos dá o comprimento do círculo, assim:

B ( r ) = μ 0 i i n t 2 π r

Agora temos que achar i i n t .

Passo 3

Vamos lá então, temos:

i i n t = ∫ 0 a J 0 a r 2 π r   d r

= 2 π J 0 a ∫ 0 a r 2   d r

= 2 π J 0 a r 3 3 0 a

Logo temos que:

i i n t = 2 π J 0 a 2 3

Com isso o campo para r > a é dado por:

B ( r ) = μ 0 2 π r 2 π J 0 a 2 3

⇒ B ( r ) = μ 0 J 0 a 2 3 r

Passo 4

Agora vamos encontrar o campo para a região do item ( b ) . Temos a seguinte curva:

Como podemos ver o campo B → tem a mesma direção que d l → logo temos que:

∮ C B → ⋅ d l → = μ 0 i i n t

⇒ ∮ C B d l = μ 0 i i n t

⇒ B ∮ C d l = μ 0 i i n t

Essa integral sobre d l na curva C nos dá o comprimento do círculo, assim:

B ( r ) = μ 0 i i n t 2 π r

Agora temos que achar i i n t .

Passo 5

Vamos lá então, temos:

i i n t = ∫ 0 r J 0 a r 2 π r   d r

= 2 π J 0 a ∫ 0 r r 2   d r

= 2 π J 0 a r 3 3 0 r

Logo temos que:

i i n t = 2 π J 0 r 3 3 a

Com isso o campo para r < a é dado por:

B ( r ) = μ 0 2 π r 2 π J 0 r 3 3 a

⇒ B ( r ) = μ 0 J 0 r 2 3 a

Resposta

( a )

B ( r ) = μ 0 J 0 a 2 3 r

( b )

B ( r ) = μ 0 J 0 r 2 3 a

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