Considere o cabo coaxial muito longo da figura abaixo, formado por um cilindro central de raio a e uma casca cilíndrica externa de raios b e c ( b < c ) , concêntrica com cilindro.

Sabendo que uma corrente I flui no cilindro e uma corrente – I flui na casca cilíndrica (em sentidos opostos):

a ) Calcule o campo magnético B → (módulo, direção e sentido) em todas as regiões do espaço considerando que as corrente estão uniformemente distribuídas nas seções transversais do cilindro e da casca cilíndrica.

b ) Faça um gráfico do módulo de B → em função do raio (distância ao centro do cabo).

Passo 1

a ) Para determinar o campo magnético em todas as regiões, vamos usar a lei de Ampère, ela diz o seguinte:

∮ C   B → ∙ d l → = μ 0 I i n t

Nossa curva será um círculo, pela simetria, temos que o campo magnético(dado pela regra da mão direita), será sempre paralelo ao vetor d l → , e será sempre constante, temos então:

B → . 2 . π . r = μ 0 . I i n t   ϕ ^

Vamos ver como fica o campo para as diferentes regiões:

  • r < a
  • Para essa região, a corrente interna vai variar para cada valor de r , por isso precisamos determinar a corrente para cada valor de r ! A corrente por unidade de área é dada por:

    I π . a 2

    Para diferentes valores de r , a corrente fica:

    I i n t = π . r 2 . I π . a 2

    Agora é só jogar na lei de Ampère!

    B → . 2 . π . r = μ 0 . I i n t   ϕ ^

    B → . 2 . π . r = μ 0 . π . r 2 . I π . a 2   ϕ ^

    B → r = μ 0 . r . I 2 . π . a 2   ϕ ^

    Passo 2

  • a < r < b
  • Para essa região, temos que a corrente interna será toda a corrente que passa no cilindro central, a Lei de Ampère fica assim:

    B → . 2 . π . r = μ 0 . I i n t   ϕ ^

    B → . 2 . π . r = μ 0 . I   ϕ ^

    B → r = μ 0 . I 2 . π . r   ϕ ^

    Passo 3

  • b < r < c
  • Para essa região, devemos fazer o mesmo mimimi da região r < a , pois a corrente interna vai variar com r , temos então que a corrente por unidade de área é dada por:

    - I π . ( c 2 - b 2 )

    Para diferentes valores de r , a corrente interna fica:

    I ' i n t = - π . r 2 - b 2 I π . ( c 2 - b 2 )

    Vamos agora aplicar a Lei de Ampère, mas lembre-se, não podemos esquecer da corrente que passa pelo cilindro central, a corrente interna à Amperiana será:

    I i n t = I - π . r 2 - b 2 I π . ( c 2 - b 2 )

    Agora sim, vamos aplicar a Lei de Ampère:

    B → . 2 . π . r = μ 0 . I i n t   ϕ ^

    B → . 2 . π . r = μ 0 . I - π . r 2 - b 2 I π ( c 2 - b 2 )   ϕ ^

    B → r = μ 0 . I   2 . π . r 1 - r 2 - b 2 c 2 - b 2   ϕ ^

    B → r = μ 0 . I   2 . π . r c 2 - b 2 - r 2 + b 2 c 2 - b 2   ϕ ^

    B → r = μ 0 . I   2 . π . r c 2 - r 2 c 2 - b 2   ϕ ^

    Passo 4

  • r > c
  • Para essa região, temos que a soma das correntes internas I - I = 0 , portanto:

    B → r = 0

    Passo 5

    O gráfico do módulo do campo magnético e função do raio deve ser algo assim:

    Calculamos o valor do campo para r = a e r = b através das fórmulas!

    Resposta

    a )

  • r < a :
  • B → r = μ 0 . r . I 2 . π . a 2   ϕ ^

  • a < r < b :
  • B → r = μ 0 . I 2 . π . r   ϕ ^

  • b < r < c
  • B → r = μ 0 . I   2 . π . r c 2 - r 2 c 2 - b 2   ϕ ^

  • r > c

B → r = 0

Exercícios de Livros Relacionados

41- Um supercondutor do tipo I I em um campo magnético externo entre B
A figura 29-86 mostra uma seção reta de um condutor cilíndrico oco de
82- Condutores retilíneos longos, com seções retas quadradas, cada um
74- Um condutor possui forma de um cilindro oco, sendo a o raio intern