Parte I

Em uma determinada região existe uma densidade de corrente uniforme de 30   A / m 2 no sentido positivo do eixo z .

a ) Qual é o valor de ∮ B → ∙ d s → quando a integral de linha é tomada ao longo do contorno amperiano formado pelos três segmentos de linha reta que conectam, consecutivamente, os ponto 2 d   , 0   ,   0 , 2 d   ,   3 d   ,   0 , 0   ,   0   ,   0 e ( 2 d   ,   0   ,   0 ) , onde d = 30   c m ?

Parte II

Um duto cilíndrico muito longo, com um raio externo R , conduz uma corrente (uniformemente distribuída) i 0 (no sentido saindo da página, veja a figura abaixo). Um fio corre paralelo ao duto a uma distância 3 R de centro a centro.

b ) Calcule a intensidade (em termo de i 0 ), a direção e o sentido da corrente i ' que deve passar no fio para que o campo magnético em P seja nulo.

Passo 1

a ) Qual é o valor de ∮ B → ∙ d s → quando a integral de linha é tomada ao longo do contorno amperiano formado pelos três segmentos de linha reta que conectam, consecutivamente, os ponto 2 d   , 0   ,   0 , 2 d   ,   3 d   ,   0 , 0   ,   0   ,   0 e ( 2 d   ,   0   ,   0 ) , onde d = 30   c m ?

Quando o cara joga essa integral fechada de B → ∙ d s → , a primeira coisa que temos que pensar é na lei de Ampère!

∮ B → ∙ d s → = μ 0 I i n t

O nosso único trabalho aqui, então, vai ser encontrar o valor da corrente interna I i n t .

O problema já falou que a densidade de corrente é uniforme e vale J = 30   A / m 2 . Ou seja... vamos utilizar isso pra encontrar a corrente que passa por dentro da área formada pelos pontos que, no caso, é esse triângulo aqui em baixo.

Vamos lá! Pela definição de densidade de corrente, podemos dizer que:

J = I i n t A → I i n t = J A

Onde:

A = 2 d × 3 d 2 = 3 d 2 = 3 0,3 2 = 0,27 m 2

I i n t = 30 × 0,27 = 8,1   A

Portanto:

∮ B → ∙ d s → = μ 0 I i n t

∮ B → ∙ d s → = 4 π × 10 - 7 × 8,1

∮ B → ∙ d s → = 101,78 × 10 - 7   T m

Passo 2

b ) Calcule a intensidade (em termo de i 0 ), a direção e o sentido da corrente i ' que deve passar no fio para que o campo magnético em P seja nulo.

Como a corrente no duto cilíndrico está saindo da página, o campo magnético gerado por ele no ponto P estará apontando pra baixo. Assim, o campo magnético gerado pelo fio deve se opor ao campo magnético gerado pelo duto cilíndrico.

Portanto, para que o campo magnético gerado pelo fio esteja apontando para cima, a corrente i ' do fio deve estar no sentido saindo da página.

Os módulos campos magnéticos gerados pelo duto cilíndrico e pelo fio no ponto P são dados por:

B c = μ 0 i 0 2 π 2 R = μ 0 i 0 4 π R

B f = μ 0 i ' 2 π R

Para que o campo magnético no ponto P seja nulo:

B f = B c

μ 0 i ' 2 π R = μ 0 i 0 4 π R

i ' = i 0 2

Resposta

a )

101,78 × 10 - 7   T m

b )

i ' = i 0 2

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