Responde Aí

Em uma casca cilíndrica de comprimento infinito, raio 2 a e coaxial com o eixo z passa uma corrente I , uniformemente distribuída, que flui no sentido de z negativo. No interior desta casca cilíndrica existe uma região cilíndrica (região cinza na figura) também de comprimento infinito, raio a e coaxial com o eixo z onde há um campo elétrico uniforme E → t = K t   k ^ , onde K é uma constante positiva e t é o tempo.

(a) (1,5 ponto) Desconsiderando a casca cilíndrica por onde passa corrente, calcule o vetor campo magnético em todo o espaço (regiões r < a e r > a , onde r é a distância ao eixo z ).

(b) (1,0 ponto) Determine o vetor campo magnético devido somente à corrente que passa pela casca cilíndrica em todo o espaço.

(c) (1,0 ponto) Calcule o valor da corrente I para que o campo magnético seja nulo para r > 2 a .

Passo 1

Para o item (a), vamos utilizar a lei de Ampère incluindo somente a corrente de deslocamento, ou seja,

∮ B → ∙ d l → = μ 0 ϵ 0 d Φ E d t = μ 0 ϵ 0 d d t ∫ E → ( t ) ∙ d A → .

Passo 2

Pra começar, vamos definir o sentido e direção do campo magnético B → . Bem, o campo elétrico E → induz uma corrente de deslocamento i D com o mesmo sentido e direção de E → , ou seja, para fora do papel. Dessa forma, pela regra da mão direita, B → é sempre tangencial às circunferências coaxiais com o eixo z (neste caso, de raio r ) e possui sentido anti-horário. O vetor d l → está alinhado com B → . Temos, portanto:

∮ B → ∙ d l → = ∮ B   d l = B ∮ d l = B 2 π r .

Já o campo elétrico E → ( t ) está alinhado com o vetor normal à superfície. Temos, assim:

∫ E → ( t ) ∙ d A → = ∫ E ( t )   d A = E t ∫ d A .

Como E t = K t ,

∫ E → ( t ) ∙ d A → = K t ∫ d A .

A integral ∫ d A , aqui, irá depender do valor de r ! Isso porque estamos apenas interessados na área pela qual passa fluxo elétrico, que é o cilindro cinza de raio a .

Assim sendo:

  • Se r < a , ∫ d A = π r 2 ; e
  • Se r > a , ∫ d A = π a 2 .

Passo 3

Reescrevendo a lei de Ampère para as conclusões acima, chegamos nas soluções abaixo.

  • Se r < a :
  • B 2 π r = μ 0 ϵ 0 π r 2 d d t K t ,

    B = μ 0 ϵ 0 r 2 d d t K t = μ 0 ϵ 0 K r 2 .

  • Se r > a :
  • B 2 π r = μ 0 ϵ 0 π a 2 d d t K t ,

    B = μ 0 ϵ 0 a 2 2 r d d t K t = μ 0 ϵ 0 K a 2 2 r .

    Passo 4

    Para o item (b), vamos utilizar a lei de Ampère sem o termo de corrente de deslocamento, ou seja,

    ∮ B → ∙ d l → = μ 0 i C ,

    onde i C é a corrente de condução ao longo da casca cilíndrica.

    Passo 5

    O sentido do campo magnético B → , nesse caso, é o oposto ao campo obtido no item (a), pois agora a corrente está entrando no papel. Dessa forma, pela regra da mão direita, B → é sempre tangencial às circunferências coaxiais com o eixo z (neste caso, de raio r ) e possui sentido horário. O vetor d l → está alinhado com B → . Temos, portanto:

    ∮ B → ∙ d l → = ∮ B   d l = B ∮ d l = B 2 π r .

    Passo 6

    Bem, para r > 2 a , a corrente de condução i C é aquela que passa pela casca cilíndrica, ou seja, i C = I . Assim sendo,

    B 2 π r = μ 0 I ,

    B = μ 0 I 2 π r .

    Passo 7

    Para r < 2 a , no entanto, a corrente de condução é nula. Nesse caso, portanto, o campo magnético B → também será nulo!

    Passo 8

    O campo magnético na região r > 2 a é a soma dos campos magnéticos calculados nos itens (a) e (b). Para que ele se anule, devemos ter, portanto:

    μ 0 ϵ 0 K a 2 2 r - μ 0 I 2 π r = 0 ,

    μ 0 ϵ 0 K a 2 2 r = μ 0 I 2 π r ,

    I = ϵ 0 K a 2 π .

    Resposta

    (a) O módulo do campo magnético para a região r < a é dado por:

    B = μ 0 ϵ 0 K r 2 .

    O módulo do campo magnético para a região r > a é dado por:

    B = μ 0 ϵ 0 K a 2 2 r .

    Direção e sentido de B → são os especificados no Passo 2.

    (b) O módulo do campo magnético devido somente à corrente de condução é dado por:

  • Se r > 2 a , B = μ 0 I 2 π r ; e
  • Se r < 2 a , B = 0 .

Direção e sentido de B → são os especificados no Passo 5.

(c) O valor da corrente I para que o campo magnético seja nulo para r > 2 a é dado por:

I = ϵ 0 K a 2 π .

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