Responde Aí

Um cilindro condutor, maciço, de raio R possui densidade de corrente estacionária e não uniforme dada por  J → = k s exp ⁡ s R z ^   ( s ≤ R ) , onde k é uma constante positiva, s   é a distância ao eixo do cilindro e z ^ é o unitário da direção correspondente a esse eixo.

  1. Determine a corrente total que atravessa uma seção transversal do cilindro.
  2. Determine o campo magnético (módulo, direção e sentido) produzido pelo cilindro em todo o espaço. Justifique cuidadosamente todos os argumentos utilizados.

Passo 1

a) Para calcularmos a corrente total I t o t a l que atravessa a seção transversal do cilindro, precisamos calcular a seguinte expressão

I t o t a l = ∫ J → ⋅ d A →   ,  

em que o vetor área   d A → é perpendicular à seção transversal, apontando na mesma direção e sentido do vetor   J → , como mostra a Figura abaixo.

Temos, então,   d A → = d A   z ^ = 2 π s d s z ^ . Portanto, esse vetor é paralelo ao vetor densidade de corrente   J → . Por isso, se substituímos essas informações juntamente com a expressão dada no enunciado, temos que a corrente é

I t o t a l = ∫ 0 R k s e s R 2 π s d s = 2 π k   ∫ 0 R e s R d s = 2 π k R e R R - e 0 .

Simplificando essa expressão, temos que a corrente total I t o t a l é

I t o t a l = 2 π k R e - 1 ,

em que e é o número de Euler.

Passo 2

b) Vamos calcular o campo magnético primeiro para s > R :

Para isso, vamos considerar o cilindro desenhado na Figura abaixo, com a amperiana C com sentido dado também na Figura.

Como a corrente está ao longo do eixo O z , então o campo magnético   B → vai estar na direção   φ ^ e, portanto, é paralelo à   d l → em todos os pontos da amperiana C . Além disso, pela expressão para   J → , vemos que o campo só depende da distância s ao centro do cilindro. Por isso, o campo magnético produzido por essa corrente terá o mesmo valor em todos os pontos sobre a curva fechada (amperiana) C .

A corrente total que passa através da área definida pela curva fechada C já conhecemos e calculamos no item a): I t o t a l = 2 π k R ( e - 1 ) . Colocando isso tudo dentro da lei de Ampère, teremos

∮ B → ⋅ d l → = ∮ C B d l = B ∮ d l = B 2 π s = μ 0 I t o t a l = 2 π k μ 0 R e - 1 .

Para esse caso ( s > R ), o campo magnético   B →

B → = B s   φ ^ = k μ 0 R s   e - 1   φ ^   ,

em que e é o número de Euler.

Passo 3

b) Agora para o caso em que s ≤ R :

Para esse caso, considere a curva fechada (amperiana C ) desenhada na Figura abaixo dentro do cilindro.

Novamente, o campo magnético  B → estará ao longo da direção e sentido do vetor   φ → e terá o mesmo valor em todos os pontos sobre a curva C .

Agora, o que muda é que a corrente que atravessa a área definida por C é diferente. Precisamos, então, encontrar qual é a corrente I s que passa atravessa da área circular de raio s . Portanto, precisamos fazer a seguinte integral

I s ( s ) = ∫ 0 s k s 1 e s 1 R 2 π s 1 d s 1 = 2 π k ∫ 0 s e s 1 R d s 1 .

Resolvendo essa integral, teremos que

I s s = 2 π k R e s R - 1 .

Juntando esse valor para a corrente e as informações acima sobre o campo sobre a curva C , obtemos, a partir da lei de Ampère, que

∮ C B → ⋅ d l → = ∮ C B d l = B ∮ C d l ⇒ B 2 π s = μ 0 I s s = 2 π k μ 0 R e s R - 1 .

Simplificando essa expressão, temos que o vetor   B → é dado por

B → = B s   φ ^ = k μ 0 R s   e s R - 1   φ ^   .

Uma maneira de confirmar esse resultado, é colocar s = R na expressão acima para tentar recuperar o campo magnético que obtivemos para s > R ! ;-)

Resposta

  1. I t o t a l = 2 π k R e - 1 ;
  2. s > R :   B → = B s   φ ^ = k μ 0 R s   e - 1   φ ^   ;

s ≤ R :   B → = B s   φ ^ = k μ 0 R s   e s R - 1   φ ^   .  

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