1. Considere um fio condutor retilíneo, muito longo, percorrido por uma corrente elétrica estacionária de intensidade I . Utilizando a Lei de Ampère e que o campo magnético B → r e t a provocado por tal fio retilíneo é puramente circular (ou azimutal), deduza, detalhadamente, uma expressão para tal campo, indicando, com clareza, qual a curva Amperiana utilizada (Sugestão: use coordenadas cilíndricas)
  2. Utilizando a Lei de Biot-Savart, deduza, detalhadamente, o campo magnético B → c i r c , no centro de um anel condutor circular, de raio R , percorrido por uma corrente elétrica estacionária de intensidade I .
  3. Referindo-se agora à figura abaixo, temos um arame com uma parte retilínea muito longa e outra parte circular, de raio R e centro O . Utilizando os resultados dos itens anteriores, qual deve ser a posição (ordenada) y = y e r da parte retilínea do arame, de modo que o campo magnético resultante no ponto O seja nulo?

Passo 1

Enunciando a Lei de Ampère:

∮ C B → reta ∙ d l → = μ 0 I int

Por conta da configuração do campo magnético (azimutal), é ideal escolher uma curva Amperiana circular de raio arbitrário r . De forma que:

B → reta | | d l →

Em toda C , o que implica:

B → reta ∙ d l → = B reta d l

Passo 2

Além disso temos que, pela configuração do campo, o módulo deste é constante em toda C , portanto:

∮ C B reta d l = B reta ∮ C d l

A integral de pedaços infinitesimais na Amperiana resulta no comprimento desta:

B reta = μ 0 I int L

Passo 3

Como nossa Amperiana é uma circunferência de raio r , temos que seu comprimento é:

L = 2 π r

B reta = μ 0 I int 2 π r

Além disso, a corrente que atravessa a Amperiana é:

I int = I

O campo fica em um sentido girando em torno do fio retilíneo. Podemos determinar o sentido pela regra da mão direita, se colocarmos nosso polegar no sentido da corrente, os outros dedos dão o sentido do giro. Estipulando que o vetor ϕ ^ tenha este sentido de giro, temos que o campo fica:

B → reta = μ 0 I 2 π r ϕ ^

Passo 4

Vamos agora rodar Biot-Savart para o campo do fio circular no centro. Enunciamos:

B → circ = μ 0 4 π ∫ f i o I d l → × r ^ r 2

Sabemos que a corrente é constante e em nosso domínio de integração temos r = R , portanto:

B → circ = μ 0 I 4 π R 2 ∫ f i o d l → × r ^

Para determinar o sentido do produto vetorial precisamos saber o sentido do eixo O z , portanto, pelo macete do prisma temos:

z ^ = x ^ × y ^

Agora sabendo que o eixo O z sai da tela, podemos achar o sentido do produto vetorial:

B → circ = μ 0 I 4 π R 2 - z ^ ∫ f i o d l

O comprimento do círculo de raio R é conhecido:

B → circ = - μ 0 I 4 π R 2 2 π R z ^

B → circ = - μ 0 I 2 R z ^

Showz.

Passo 5

Queremos saber qual a distância do fio até o eixo O x para que dê campo nulo no centro. Vamos ser razoáveis e ignorar a sugestão da figura e supor tudo positivo. Vamos usar a regar da mão direita, com o polegar no sentido da corrente e os dedos acompanhando o campo Magnético. Lembra que o vetor ϕ ^ não tem direção constante? Se o fio retilíneo estiver acima do eixo O x , o campo que ele produz vai entrar na página, ou seja, no sentido contrário de O z . Nesse ponto, ϕ ^ = - z ^ .

B → reta = μ 0 I 2 π r - z ^

B → reta = - μ 0 I 2 π r z ^

Além disto, a distância passa a ser r = y c r . Ou seja:

B → reta = - μ 0 I 2 π y c r z ^

Passo 6

Somando tudo e igualando a zero:

B → reta + B → circ = 0 →

- μ 0 I 2 π y c r z ^ + - μ 0 I 2 R z ^ = 0 →

Agora é só resolver. Arrumando:

- μ 0 I 2 R = μ 0 I 2 π y c r

Isolando y c r :

y c r = - R π

Ou seja, nossa suposição inicial de que a coordenada y era positiva estava errada, mas a álgebra veio ao resgate e deu tudo certo no final. Na realidade o fio deve estar abaixo do eixo O x para que consigamos campo nulo no centro. Fim de papo.

Resposta

a)

B → reta = μ 0 I 2 π r ϕ ^

b)

B → circ = - μ 0 I 2 R z ^

c)

y c r = - R π

Exercícios de Livros Relacionados

41- Um supercondutor do tipo I I em um campo magnético externo entre B
A figura 29-86 mostra uma seção reta de um condutor cilíndrico oco de
81- Um plano infinito que conduz uma corrente. Condutores retilíneos l
82- Condutores retilíneos longos, com seções retas quadradas, cada um