Responde Aí

A figura abaixo ilustra um condutor cilíndrico maciço infinito, de raio R , que é percorrido por uma dada corrente elétrica constante I . Sabe-se que, neste condutor, a densidade de corrente varia com a distância ao eixo do cilindro de acordo com a relação J = J 0 ( 1 - r / R ) , onde J 0 é uma constante positiva e r denota a distância ao eixo de simetria do cilindro. A permeabilidade magnética do vácuo é denotada por μ 0 . Atenção: quando possível, expresse seus resultados em termos de J 0 , μ 0 , R e r .

(a) Calcule o módulo do campo magnético no interior do cilindro ( r < R ).

(b) Calcule o módulo do campo magnético no exterior do cilindro ( r > R ).

(c) Esboce um gráfico mostrando como o campo magnético varia com a distância r ( 0 ≤ r < ∞ ).

Passo 1

Para determinar o campo magnético no interior do cilindro, utilizamos a lei de Ampère no círculo com raio r < R . A corrente que flui através dessa área é:

i = ∫ 2 π r J d r = 2 π J 0 ∫ r ( 1 - r / R )   d r ,

i = 2 π J 0 r 2 2 - r 3 3 R .

Passo 2

As linhas de campo magnético, de acordo com a regra da mão direita, são círculos concêntricos com o eixo do cilindro. Além disso, o campo magnético B → possui o mesmo módulo em todos os pontos do percurso de integração e é tangente à circunferência.

Assim sendo,

∮ B → ⋅ d l → = μ 0 i

B 2 π r = μ 0 2 π J 0 r 2 2 - r 3 3 R ,

B = μ 0 J 0 r 2 - r 2 3 R .

Passo 3

Para calcular o módulo do campo magnético no exterior do cilindro, calculamos, inicialmente, a corrente total que passa pelo condutor:

I = 2 π J 0 R 2 2 - R 3 3 R ,

I = π J 0 R 2 3 .

Passo 4

O módulo do campo magnético será, portanto,

B = μ 0 I 2 π r = μ 0 J 0 R 2 6 r .

Passo 5

O gráfico pode ser visto abaixo:

Resposta

(a) B = μ 0 J 0 r 2 - r 2 3 R .

(b) B = μ 0 J 0 R 2 6 r .

(c) O gráfico do módulo de B → ao longo de r é dado por:

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