Responde Aí

A densidade de corrente elétrica J que passa num condutor é definida com o a corrente elétrica por unidade de área da seção transversal do condutor. Considere um cabo condutor cilíndrico oco muito longo de raio interno R / 2 e raio externo R , disposto ao longo do eixo z , que transporta uma corrente no sentido + z ^ (para fora do papel). A densidade de corrente na seção transversal é J r = J 0 r R   [ A / m 2 ] , onde J 0 é uma constante e r é a distância radial do centro do condutor.

Utilizando a lei de Ampère:

  1. Determine o valor (módulo) do campo magnético B no interior do cabo condutor, numa distância R 2 < r < R do centro.
  2. Determine o valor (módulo) do campo magnético B no exterior do cabo condutor, para r > R .
  3. Trace o gráfico do módulo do campo magnético B em função da distância r ao centro do cabo condutor. Indique no gráfico o valor máximo do campo magnético e o valor de r para o qual isso acontece.
  4. Considere agora que no centro do cabo (região oca) seja inserido um fio condutor de raio desprezível concêntrico ao cabo, que transporta uma corrente I = 5 π J 0 R 2 4 com sentido oposto ao da corrente anterior ( - z ^ ) .

  5. Usando a lei de Ampère, determine o módulo do campo magnético total B numa distância r = 2 R .

Passo 1

a) Como temos simetria cilíndrica, então, pela lei de Ampère, teremos

B 2 π r = μ 0 ∫ R 2 r j → ⋅ d A →   .

Como   J → está saindo do plano da página, podemos colocar  d A → = 2 π r ´ d r ´ ( + z ^ ) também saindo da página. Nesse caso, vamos ter

B 2 π r = 2 π μ 0 J 0 R ∫ R 2 r r ´ 2 d r ´ ⇒ B r = μ 0 J 0 24   8 r 2 R - R 2 r   .

Passo 2

b) Para r > R , vamos ter

B 2 π r = 2 π μ 0 J 0 R ∫ R 2 R r ´ 2 d r ´     ⇒     B r > R = 7 μ 0 J 0 R 2 24 r     .

Passo 3

c) Como para r < R não há corrente, então o campo magnético será zero. Além disso, como B r > R > 0 , então o gráfico terá o seguinte comportamento

Passo 4

d) Para finalizar, para r > R agora precisamos considerar também a corrente que está em r < R . Essa corrente está no sentido, logo ela entra subtraindo! Portanto

B r 2 π r = μ 0 I

A corrente total agora vai ser

I = ∫ R 2 R J d A - 5 π J 0 R 2 4

I = ∫ R 2 R J 0 r R   2 π r   d r - 5 π J 0 R 2 4

I = J 0 2 π 3 R R 3 - R 3 8 - 5 π J 0 R 2 4

Resolvendo Isso:

I = J 0 π 7 R 2 12 - 5 π J 0 R 2 4

I = - J 0 π R 2 2 3

Show! Agora que já sabemos a corrente, vamos voltar para a lei de Ampere.

B r 2 π r = μ 0 I

B r 2 π r = - μ 0 J 0 π R 2 2 3

Como queremos saber o valor do campo na posição r = 2 R :

B 2 R = - μ 0 J 0 π R 2 2 3 ⋅ 2 π 2 R

B 2 R = - μ 0 J 0 R 6

O sinal de menos indica que o sentido do campo agora é horário ao invés de anti-horário.

Resposta

  1. B r = μ 0 J 0 24   8 r 2 R - R 2 r   ;
  2. B r > R = 7 μ 0 J 0 R 2 24 r   ;
  3. Olhar gráfico do Passo 3;
  4. B r = 2 R = - μ 0 J 0 R 6   .

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