Um cilindro comprido, com seu eixo orientado ao longo do eixo O z , possui uma densidade de corrente J → . A densidade de corrente, embora seja simétrica em relação ao eixo do cilindro, não é constante e varia de acordo com a relação:

J → = 2 i 0 π a 2 1 - r a 2 k ^ , para r ≤ a ,

J = 0 , para r ≥ a ,

onde a é o raio do cilindro, r é a distância radial entre o ponto considerado e o eixo do cilindro e i 0 é uma constante dada em ampères.

(a) Mostre que i 0 é a corrente total que passa através da seção reta do fio.

(b) Usando a lei de Ampère, deduza uma expressão para o módulo do campo magnético B → na região r ≥ a .

(c) Obtenha uma expressão para a corrente i contida em uma seção reta circular de raio r ≤ a e centralizada sobre o eixo do cilindro.

(d) Aplicando a lei de Ampère, deduza uma empressão para o módulo do campo magnético B → na região r ≤ a . Como se comparam os resultados dos itens (b) e (d) para r = a ?

Passo 1

(a) Mostre que i 0 é a corrente total que passa através da seção reta do fio.

Para encontrar a corrente toal i t o t , temos que integrar a função densidade de corrente para toda a área da seção transversal A . Assim, temos que:

i t o t = ∫ 0 A J → ⋅ d A → ,

onde d A = 2 π r   d r . Assim sendo,

i t o t = ∫ 0 a 2 i 0 π a 2 1 - r a 2 2 π r   d r ,

i t o t = 4 i 0 a 2 ∫ 0 a r - r 3 a 2 d r ,

i t o t = 4 i 0 a 2 r 2 2 - r 4 4 a 2 0 a = 4 i 0 a 2 a 2 2 - a 4 4 a 2 ,

i t o t = i 0 .

Passo 2

(b) Usando a lei de Ampère, deduza uma expressão para o módulo do campo magnético B → na região r ≥ a .

Utilizando a lei de Ampère:

∮ B → ⋅ d l → = μ 0 I i n t ,

onde I i n t é a corrente dentro da curva amperiana. Para os pontos externos ao condutor, podemos tomar uma circunferência como a nossa curva e integrar ao longo dela.

Como a corrente I i n t dentro da curva é a corrente total i t o t = i 0 , temos que:

B 2 π r = μ 0 i 0 → B = μ 0 i 0 2 π r ,

onde r > a .

Passo 3

(c) Obtenha uma expressão para a corrente i contida em uma seção reta circular de raio r ≤ a e centralizada sobre o eixo do cilindro.

Bem, para resolver esse item, podemos lembrar lá do que fizemos no item (a). Ali integramos a densidade de corrente de 0 até o raio do cilindro a . MAS, aqui queremos a corrente em uma seção reta circular de raio r ≤ a . Então, precisamos fazer a MESMA integral, mas com limites de 0 até r , sacou?

Com esse raciocínio, chegamos no valor de i igual a:

i = 4 i 0 a 2 r 2 2 - r 4 4 a 2 .

Passo 4

(d) Aplicando a lei de Ampère, deduza uma empressão para o módulo do campo magnético B → na região r ≤ a . Como se comparam os resultados dos itens (b) e (d) para r = a ?

Utilizando a lei de Ampère, temos que:

∮ B → ⋅ d l → = μ 0 I i n t ,

B 2 π r = μ 0 4 i 0 a 2 r 2 2 - r 4 4 a 2 ,

onde já estamos considerando a corrente interna como aquela calculada no item (c).

Logo,

B = μ 0 i 0 π a 2 r - r 3 2 a 2 .

Se fizermos r = a na equação acima e no valor de B encontrado no item (b), chegamos ao mesmo resultado:

B = μ 0 i 0 2 π a .

Resposta

(b) B = μ 0 i 0 2 π r .

(c) i = 4 i 0 a 2 r 2 2 - r 4 4 a 2 .

(d) B = μ 0 i 0 π a 2 r - r 3 2 a 2 .

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