Responde Aí

(II) A figura abaixo mostra a seção reta de uma casca cilíndrica muito longa de raio interno a e raio externo b , coaxial com o eixo z . Pela casca flui, na direção positiva do eixo z (direção saindo do papel), uma corrente I uniformemente distribuída através de sua seção reta.

(a) (0,5 ponto) Calcule o vetor densidade de corrente na região a < r < b , onde r é a distância ao eixo da casca cilíndrica. J → = I π ( b 2 - a 2 )   k ^

(b) (1,0 ponto) Calcule o vetor campo magnético na região a < r < b .

Passo 1

Para o cálculo do campo magnético na região a < r < b , vamos utilizar a lei de Ampère.

Bem, a lei de Ampère nos diz que:

∮ B → ∙ d l → = μ 0 I i n t ,

onde I i n t é a corrente resultante do interior do percurso.

Vamos descobrir, antes de tudo, a direção do campo magnético B → . Bem, do enunciado, sabemos que a corrente flui na direção do eixo z , que sai do plano da folha. Pela regra da mão direta, percebemos que o campo B → gira em torno da casca cilíndrica, como na figura abaixo.

Passo 2

Mas e agora, qual percurso escolher? Vamos prestar atenção na figurinha aqui de baixo.

Se escolhermos o percurso tracejado de raio r , o campo B → estará alinhado com o segmento vetorial do percurso d l → . Opa! E isso é bom, porque facilita na conta do produto escalar que tem dentro da integral de linha.

Só mais um detalhe: o campo magnético B → varia de acordo com o raio escolhido r e, portanto, vamos escrever B → r no lugar de simplesmente B → a partir de agora.

Passo 3

Escolhemos o percurso, agora vamos usar a lei de Ampère para calcular o campo B → r . Do lado esquerdo da equação, temos:

∮ B → r ∙ d l → = B r ∮ d l = B r 2 π r .

Para o lado direito, precisamos calcular primeiro a corrente interna I i n t . Sabemos o valor da densidade de corrente, calculada no item anterior. Para calcular I i n t , fazemos:

I i n t = J . S r ,

onde S r é a área da casca cilíndrica de raio r , dada por S r = π ( r 2 - a 2 ) . Temos:

I i n t = I r 2 - a 2 b 2 - a 2 .

Assim, do lado direito da equação, teremos:

μ 0 I i n t = μ 0 I r 2 - a 2 b 2 - a 2 .

Por fim, igualamos os dois lados para obter o módulo de B → r :

B r 2 π r = μ 0 I r 2 - a 2 b 2 - a 2 ,

B r = μ 0 I 2 π r r 2 - a 2 b 2 - a 2 .

Resposta

O módulo do campo magnético na região a < r < b é dado por:

B r = μ 0 I 2 π r r 2 - a 2 b 2 - a 2 .

Sua direção pode ser vista na figura apresentada no Passo 1.

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