A figura abaixo representa a seção transversal de uma casca cilíndrica muito longa, com raio interno a e raio externo b . No interior desta casca cilíndrica, existe uma corrente axial I . A derivada da corrente elétrica I com respeito ao raio r é dada pela função d I d r = 2 π k r 2 .

a ) Calcule a intensidade do campo magnético em função do raio r quando 0 < r < a .

b ) Calcule a expressão da corrente elétrica I em função de r .

c ) Calcule a expressão da intensidade do campo magnético em função do raio r quando a < r < b .

Passo 1

a ) Calcule a intensidade do campo magnético em função do raio r quando 0 < r < a .

O campo magnético é determinado a partir da lei de Ampère, que é dada por:

∮ C   B → ∙ d l → = μ 0 I i n t

Onde I i n t é a corrente englobada pela amperiana.

Utilizando a simetria do problema, a amperiana será um círculo de raio r , a expressão de lei de Ampère pode ser simplificada para:

2 π r B r = μ 0 I i n t

B r = μ 0 I i n t 2 π r

Entretanto, na região 0 < r < a não existe nenhuma corrente, logo:

I i n t = 0

B r = 0

Passo 2

b ) Calcule a expressão da corrente elétrica I em função de r .

O enunciado nos disse que, para a < r < b (que é onde tem corrente):

d I d r = 2 π k r 2

Então, para calcular a expressão de I r , basta integrar esse cara:

d I = 2 π k r 2   d r

I r = ∫ a r 2 π k r 2   d r

Obs.: Temos que integrar esse cara de a até r porque nas regiões 0 < r < a e r > a , a corrente é nula.

I r = 2 π k ∫ a r r 2   d r

I r = 2 π k r 3 3 a r

I r = 2 π k 3 r 3 - a 3

Passo 3

c ) Calcule a expressão da intensidade do campo magnético em função do raio r quando a < r < b .

Aqui, novamente, vamos ter que usar a lei de Ampère:

∮ C   B → ∙ d l → = μ 0 I i n t

Fazendo as mesmas simplificações que usamos na letra a , teremos:

B r = μ 0 I i n t 2 π r

A diferença aqui é que, para a região a < r < b , a corrente interna é dada por:

I i n t = I r = 2 π k 3 r 3 - a 3

Substituindo isso na expressão de B r , teremos:

B r = μ 0 2 π r 2 π k 3 r 3 - a 3

B r = μ 0 k 3 r r 3 - a 3

Resposta

a )

B r = 0

b )

I r = 2 π k 3 r 3 - a 3

c )

B r = μ 0 k 3 r r 3 - a 3

Exercícios de Livros Relacionados

41- Um supercondutor do tipo I I em um campo magnético externo entre B
A figura 29-86 mostra uma seção reta de um condutor cilíndrico oco de
81- Um plano infinito que conduz uma corrente. Condutores retilíneos l
82- Condutores retilíneos longos, com seções retas quadradas, cada um