Responde Aí

Um cilindro circular maciço, infinito e condutor, de raio R , possui uma densidade de corrente estacionária, J → r = k r z ^ , onde k é uma constante positiva, r é a distância ao eixo do cilindro e z ^ é um vetor unitário cuja direção é paralela ao eixo do cilindro. Assinale a alternativa cujo gráfico melhor representa o comportamento do módulo do campo magnético B → produzido pelo cilindro como função da distância r .

Passo 1

Temos que, pela regra da mão direita, o campo magnético está na direção θ ^ . Então fica interessante usar lei de Ampére. Vamos usar como amperiana um círculo de raio r centrado no eixo do fio.

A circulação do campo magnético ao longo desse círculo é dado por

∮ c i r c u l o d e   r a i o   r B → d l → = B 2 π r

Por outro lado, temos que a corrente total passando dentro desse círculo é dada por

I = ∫ ∫ J → . d A →

Onde d A → = r d r d θ z ^ e é paralelo à densidade de corrente J → .

Para uma distância r < R (dentro do fio), temos que a corrente total é dada por

I = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 r r ' d r ' J r ' = k ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 r r ' 2 d r '

I = 2 π k r 3 3

Assim pela lei de Ampére

∮ B → d l → = I μ 0 → 2 π r B = 2 π k r 3 3 μ 0

B = μ 0 k r 2 3 ,   ( r < R )

Ou seja, para r < R , o campo magnético cresce como uma parábola.

Para uma distância r > R (fora do fio), temos que a corrente total vai ser toda a corrente no fio que é dada por

I = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 R r ' d r ' J r ' = k ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 R r ' 2 d r '

I = 2 π k R 3 3

Assim pela lei de Ampére

∮ B → d l → = I μ 0 → 2 π r B = 2 π k R 3 3 μ 0

B = μ 0 k R 3 3 r ,   ( r > R )

Ou seja, para r > R , o campo cai como 1 / r .

O melhor gráfico que representa esse comportamento é o da letra (d)

Resposta

(d)

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