Exercícios Resolvidos de Lei de Ampère

PUCRIO – Prova 2 – 2015.1 – Questão 3.

Considere o cabo coaxial muito longo da figura ao lado, formado por duas cascas cilíndricas concêntricas com raios internos a , c e raios externos b , d , respectivamente. Uma corrente uniforme I 1 flui na casca cilíndrica interna com o sentido para fora do plano do papel e uma corrente uniforme I 2 com sentido desconhecido flui na casca cilíndrica externa.

a ) Calcule a intensidade do campo magnético nas regiões:

i ) 0 < r < a ;

i i ) a < r < b ;

i i i ) b < r < c ;

b ) Sabendo que c = 3 a ,   d = 5 a e que a amplitude do campo magnético em r = ( c + d ) / 2 tem o valor de B = μ 0 I 1 4 π a , calcule o valor da corrente I 2 em função da corrente I 1 , indicando seu sentido.

c ) Calcule a amplitude do campo magnético em r = 23 a em função da corrente I 1 .

Passo 1

a . 1 ) 0 < r < a ;

Esse é um problema clássico de Lei de Ampère, dada por:

∮ C   B → ∙ d l → = μ 0 I i n t

Podemos dar uma simplificada na expressão acima:

B ∮ C   d l = μ 0 I i n t

Onde a integral ∮ C   d l será igual ao comprimento da nossa amperiana que, nesse caso, será uma circunferência de raio r :

B 2 π r = μ 0 I i n t → B = μ 0 I i n t 2 π r

Assim, para cada caso, o nosso único trabalho é calcular a corrente I i n t englobada pela amperiana.

A amperiana de raio 0 < r < a não engloba nenhuma corrente, logo:

I i n t = 0

B = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

a . i i ) a < r < b ;

A amperiana com esse raio engloba apenas parte da primeira casca cilíndrica.

Como a corrente é uniformemente distribuída pela sessão transversal da casca cilíndrica, podemos determinar I i n t com uma regra de 3:

I i n t I 1 = π r 2 - a 2 π b 2 - a 2

I i n t = I 1 r 2 - a 2 b 2 - a 2

Substituindo na expressão do campo magnético, teremos:

B = μ 0 I i n t 2 π r

B = μ 0 I 1 2 π r   r 2 - a 2 b 2 - a 2

Passo 3

a . i i i ) b < r < c ;

A amperiana com esse raio engloba toda a primeira casca cilíndrica, logo:

I i n t = I 1

Logo:

B = μ 0 I 1 2 π r

Passo 4

b ) Sabendo que c = 3 a ,   d = 5 a e que a amplitude do campo magnético em r = ( c + d ) / 2 tem o valor de B = μ 0 I 1 4 π a , calcule o valor da corrente I 2 em função da corrente I 1 , indicando seu sentido.

Vamos usar a Lei de Ampère para calcular o campo magnético a uma distância r = ( c + d ) / 2 = 4 a do centro.

Novamente, o campo magnético terá essa cara:

B = μ 0 I i n t 2 π r

B = μ 0 I i n t 2 π 4 a

B = μ 0 I i n t 8 π a

Esse campo magnético deve ser igual ao campo dado pelo enunciado, logo:

B = μ 0 I i n t 8 π a = μ 0 I 1 4 π a

Simplificando:

I i n t 2 = I 1 → I i n t = 2 I 1

Isso significa que a corrente I 2 está se somando à corrente I 1 e, por isso, o seu sentido também é para fora do papel.

Agora, o nosso trabalho é calcular a corrente I i n t englobada pela amperiana de raio r = 4 a .

Passo 5

A amperiana vai englobar toda a casca cilíndrica de corrente I 1 e parte da casca cilíndrica externa.

Logo:

I i n t = I 1 + I 2 '

Pra determinar I 2 ' , vamos fazer o mesmo que fizemos anteriormente, calculando através de uma regra de 3:

I 2 ' I 2 = π r 2 - c 2 π d 2 - c 2

I 2 ' = I 2 4 a 2 - 3 a 2 5 a 2 - 3 a 2

I 2 ' = I 2 16 a 2 - 9 a 2 25 a 2 - 9 a 2

I 2 ' = 7 16 I 2

Portanto:

I i n t = I 1 + 7 16 I 2

Voltando ao problema:

I i n t = 2 I 1

2 I 1 = I 1 + 7 16 I 2

I 1 = 7 16 I 2

Finalmente:

I 2 = 16 I 1 7

Passo 6

c ) Calcule a amplitude do campo magnético em r = 23 a em função da corrente I 1 .

Esse raio engloba as duas cascas cilíndricas, logo:

I i n t = I 1 + I 2

I i n t = I 1 + 16 I 1 7

I i n t = 23 I 1 7

Assim, o campo magnético será dado por:

B = μ 0 I i n t 2 π r

B = μ 0 2 π 23 a 23 I 1 7

B = μ 0 I 1 14 π a

Resposta

a . 1 )

B = 0

a . i i )

B = μ 0 I 1 2 π r   r 2 - a 2 b 2 - a 2

a . i i i )

B = μ 0 I 1 2 π r

b )

I 2 = 16 I 1 7   ( p a r a   f o r a   d o   p a p e )

c )

B = μ 0 I 1 14 π a

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