Responde Aí

a) Um condutor reto infinito conduzindo uma corrente I é dividido em duas partes semicirculares idênticas de raio R . Cada parte semicircular conduz a corrente I / 2 , conforme mostra a Figura 1. Calcule o vetor campo magnético no centro O da espira circular assim formada.

b) Um condutor reto infinito conduzido uma corrente I é dobrado conforme mostra a Figura 2. Os fios paralelos semi-infinitos são muito próximos, de modo que suas correntes (opostas) se cancelam mutuamente. Calcule o vetor campo magnético no centro O da espira circular assim formada.

c) Calcule o vetor campo magnético devido aos fios semi-infinitos da Figura 1 (que conduzem a corrente I ) em um ponto arbitrário z > 0 do eixo vertical (perpendiculares ao papel) que contém o centro O da espira circular. Sugestão: os dois fios semi-infinitos que conduzem a corrente I são equivalentes a um fio infinito que conduz a corrente I e um fio finito que conduz a corrente – I .

Passo 1

A primeira coisa de que precisamos nos lembrar aqui é que uma corrente I que passa em um comprimento  d l → de um condutor, produz um campo magnético  d B → em um ponto qualquer do espaço a uma distância | r → | de  d l → cujo módulo, direção e sentido são dados por:

d B → = μ 0 I 4 π d l →   ×   r ^ r → 2   ,

em que  r ^ r → são vetores que apontam de  d l → para o ponto onde queremos calcular o campo magnético  d B → . Se quisermos calcular o campo total produzido por todo o condutor percorrido por I , temos que integrar a equação acima.

Vamos aplicar isso para o nosso problema...

Passo 2

a) Aqui, é legal a gente separar as seções retas do fio da parte circular para ver a contribuição de cada um. Vamos começar com os fios retos, como na figura abaixo.

Nessa figura, representamos os vetores   d l → , r ^ r → . Repara que, para o fio que está em x < 0 , o vetor   d l → é paralelo a   r ^ , portanto, o ângulo entre esses vetores é 0 . Então, o produto vetorial é   d l →   ×   r ^ = 0 , o que dá um campo magnético zero. Se fizermos isso para todos elementos desse fio, teremos o mesmo resultado, de modo que o fio todo em x < 0 não produz campo em O .

Agora, para o fio em x > 0 ,   d l → é anti-paralelo a   r ^ , ou seja, o ângulo entre esses vetores é de 180 ˚ . Por isso, temos também   d l →   ×   r ^ = 0 , resultando também em um campo nulo em O . Fazendo isso para todo esse fio, teremos um campo resultante zero.

Passo 3

Já para as partes circulares,   d l → é sempre tangente a todos os pontos do condutor e, por isso, sempre perpendicular a  r ^ . Além disso, todos os elementos   d l → estão a mesma distância r → = R do ponto O , como mostra a figura abaixo.

Para todo elemento  d l → na parte superior do condutor, existe um outro elemento igual na parte inferior que produz um campo magnético com mesma intensidade, mesma direção, mas com sentido diferente, como mostra a figura: um campo magnético está entrando no plano da página, enquanto o outro, de mesma intensidade, está saindo do plano da página. Por isso, o campo magnético resultante produzido pela parte circular do condutor também é zero!

Então, o campo total resultante devido a ambas as partes retas e circulares do condutor é ZERO!!

Passo 4

b) Neste caso, as correntes que passam na parte superior e na parte inferior da espira circular produzem campos magnéticos ponto O que têm a mesmo módulo, direção e sentido. Por isso, o campo resultante será perpendicular ao plano da página, entrando nela.

Falta encontrarmos o módulo desse campo...

Para isso, vamos olhar para o produto vetorial que aparece em   d B → . Se a gente aplica a regra da mão direita para esse produto, vamos ter um vetor que está entrando na página e está na direção e sentido de - z ^ . Portanto,

d l →   ×   r ^ = d l → r ^ sen ⁡ ϕ - z ^ ,

em que ϕ é o ângulo entre  d l → r ^ . Bom, para o caso da espira circular:

  1. d l → r ^ são perpendiculares: sen ⁡ 90 ˚ = 1 ;
  2. r ^ = 1 : módulo de um vetor unitário (ou versor);
  3. d l → = d l = R d θ : elemento infinitesimal de comprimento;
  4. r → = R : todos os pontos do círculo estão a mesma distância de O ;

Vamos pegar essas quatro informações, colocar dentro de   d l →   ×   r ^ e jogar tudo dentro da expressão para  d B → do Passo 1 e depois integrar esse cara:

d B → = μ 0 I 4 π R d θ - z ^ R 2 ⇒ B → = μ 0 I 4 π R   ∫ 0 2 π d θ - z ^   .

Simplificando essa expressão, temos:

B → = μ 0 I 2 R   - z ^   .

Esse caso a espira circular costuma cair bastante, então vale a pena voltar e ver com cuidado o que a gente discutiu com você, Ok? ;-)

Passo 5

c) Neste item, vamos seguir o que foi na sugestão. O campo magnético resultante no ponto P que está sobre o eixo O z a um distância z de O pode ser encontrado somando vetorialmente o campo magnético  B → f i n f produzido por um fio infinito, cuja corrente I está para cima, com o campo produzido  B → f f i n produzido por uma corrente I que está para baixo em um condutor finito de comprimento 2 R , como esquematizado na figura abaixo.

O que precisamos calcular é o campo resultante:   B → R = B → f i n f + B → f f i n .

Campo gerado pelo fio infinito:   B → f i n f

Nesse caso, podemos utilizar a lei de Ampère para calcular o campo. As linhas de campo magnético nesse caso são concêntricas ao fio e o campo magnético é tangente a todos os pontos das linhas de campo.

Para isso, vamos tomar como nossa amperiana um círculo de raio r orientado de maneira que  B → d l → sejam paralelos em todos os pontos da curva. Além disso, por causa da simetria do problema, o campo magnético só depende da distância radial r ao fio e, por essa razão, tem o mesmo valor em todos os pontos da amperiana.

Colocando isso na lei de Ampère e olhando apenas para a distância r = z , que é a que nos interessa no problema, teremos:

∮ C B → ⋅ d l → = ∫ B ( z ) d l = B z ∫ d l = B z 2 π r = μ 0 I   ,

que nos dá um vetor campo magnético no ponto P :

B → f i n f = μ 0 I 2 π z - y ^ .

Passo 6

c) Continuação...

Campo gerado pelo fio finito:   B → f f i n

Para esse caso, vamos usar a figura abaixo.

Se utilizamos a regra da mão direita para vetor   d l →   ×   r ^ e fazemos o seu módulo, vemos que:

d l →   ×   r ^ = d l → r ^ sen ⁡ β + y ^ ,

em β é o ângulo entre   d l → e   r ^ , como mostra a figura. Além disso, a gente vê também que os módulos da equação acima são: d l → = d x e r ^ = 1 . Outra coisa é que, do triângulo retângulo, tiramos que: r → 2 = x 2 + z 2 .

Colocando isso em   d B → f f i n e depois integrando, chegamos a:

B → f f i n = μ 0 I 4 π   ∫ - R R     d x sen ⁡ β x 2 + z 2   + y ^   .

Agora, uma coisa muito importante aqui é que, quando x varia na integral acima, o ângulo β também varia (dá uma checada lá na figura), o que significa que esse ângulo também depende de x . Então, a gente precisa encontrar uma relação entre os dois!!

Da trigonometria, a gente pode usar a seguinte relação entre os ângulos  β e ( π - β ) da figura:

sin ⁡ π - β = sin ⁡ β   ,

de onde tiramos, olhando para o triângulo retângulo da figura, que:

sin ⁡ β = z x 2 + z 2 1 2   ,

que é a relação que a gente procurava. Colocando isso em  B → f f i n , teremos:

B → f f i n = μ 0 I z 4 π ∫ - R R d x x 2 + z 2 3 2   ( + y ^ )   .

Usando o resultado da integral, que é dado pela prova, temos:

B → f f i n = μ 0 I z 4 π   x z 2 x 2 + z 2 1 2 - R R + y ^ ⇒     B → f f i n = μ 0 I 2 π z   R R 2 + z 2   + y ^     .

Finalmente (UUUFFAAA...kkk), o campo resultante no ponto P será:

B → R = B → f i n f + B → f f i n = μ 0 I 2 π z   1 - R R 2 + z 2   - y ^   .

Resposta

  1. B → = 0   ;
  2. B → = μ 0 I 2 R   - z ^   ;
  3. B → R = μ 0 I 2 π z   1 - R R 2 + z 2   - y ^   .

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