Responde Aí

Um cabo coaxial consiste em um cilindro condutor maciço, infinito, de raio a coaxial a uma casca condutora cilíndrica, também infinita, de raio b > a e espessura desprezível. Uma seção transversal deste cabo é mostrada na figura abaixo. O cilindro transporta uma corrente estacionária de intensidade I , uniformemente distribuída sobre sua seção transversal e com sentido para fora do plano da folha, enquanto a casca transporta uma corrente estacionária de mesma intensidade no sentido inverso.

Determine o campo magnético produzido pelo cabo (módulo, direção e sentido) em um ponto a uma distância s do eixo. Considere todas as regiões distintas do espaço, dadas por (i) s < a , (ii) a < s < b e (iii) s > b . Justifique cuidadosamente todo o desenvolvimento.

Passo 1

Antes de qualquer coisa, vamos descobrir qual vai ser o formato da expressão do campo elétrico. Se colocarmos o cabo em um sistema de coordenadas tal que o eixo z seja o eixo que passa pelo seu centro, o campo magnético será

B → = B s s , ϕ , z s ^ + B ϕ s , ϕ , z ϕ ^ + B z s , ϕ , z z ^

Mass nesse problema temos simetria de translação ao longo do eixo z , então as componentes do campo magnético não podem depender nem de ϕ nem de z .

O campo também não pode ter componente radial, pois o fluxo de campo magnético na superfície gaussiana cilíndrica seria não nulo, o que violaria a Lei de Gauss para o magnetismo.

Além de tudo isso, o campo também não pode ter componente z , pois todos os elementos de corrente infinitesimal desse sistema estão ao longo do eixo z , logo, a Lei de Biot-Savart implica em um campo transversal a essa direção.

Finalmente, concluímos que o campo magnético tem o formato:

B → = B s ϕ ^

Onde ϕ ^ é o vetor unitário da direção circunferencial e é dado pela regra da mão direita a partir de z ^ , no caso, é o sentido anti-horário da figura do enunciado.

Passo 2

Agora precisamos escolher uma curva amperiana C circular de raio s .

Essa curva vai estar no mesmo sentido do campo, coincidindo com uma linha de campo, logo, a circulação de campo nessa curva será

Γ B C = ∮ C B → ⅆ l →

Γ B C = ∮ C B s ϕ ^ ⅆ l ϕ ^

Sabendo que B ( s ) tem o mesmo valor em todos os pontos de C (pois estão à mesma distância s do eixo)

Γ B C = B s ∮ C ⅆ l

Como nossa curva amperiana é circular e tem raio s

Γ B C = B s 2 π s

Agora só precisamos usar a Lei de Ampére em cada uma das regiões ;)

Passo 3

Para utilizar a Lei de Ampére, vamos lembrar que o sentido positivo da corrente vai ser o plano pra fora do papel ( z ^ ) já que foi a orientação de C que encontramos no passo 1.

Para cada uma das regiões:

i) s ≤ a

Nesse caso, a curva escolhida não está englobando totalmente a corrente do cilindro.

Sabemos que a corrente é uniformemente distribuída, então, o módulo da densidade de corrente é dado por

J = I A a = I π a ²

Logo, a corrente total que atravessa uma superfície S delimitada por C é

I i n t S = J A s

I i n t S = J π s 2

I i n t S = I s 2 a 2

Agora que sabemos a corrente na superfície, podemos aplicar na Lei de Ampére:

Γ B C = μ 0 I i n t S

B s 2 π s = μ 0 I s 2 a 2

B s = μ 0 I s 2 π a 2

Passo 4

ii) a < s < b

Agora, a curva amperiana engloba totalmente toda a corrente no cilindro, então

I i n t S = I

Então, na Lei de Ampére

Γ B C = μ 0 I

B s 2 π s = μ 0 I

B s = μ 0 I 2 π s

Note que a expressão é a mesma da de um campo magnético produzido por um fio fino, retilíneo e infinito, o que já era esperado pela simetria do problema :)

Passo 5

iii) s > b

Agora, a amperiana ainda engloba toda a corrente no cilindro, mas engloba a da casca também. Como essas duas correntes têm módulo igual e sentidos opostos, temos que

I i n t S = 0

Logo

B s = 0

Resposta

B ( s ) = μ 0 I s 2 π a 2 , s ≤ a   μ 0 I 2 π s , a < s < b   0 ,   s > b

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