Responde Aí

Um resistor cilíndrico de raio a é feito de um material de condutividade σ e permissividade dielétrica ϵ 0 igual ao do vácuo. Uma voltagem variável é aplicada de tal modo que a corrente através do resistor é dada por i t = I cos ⁡ ω t no sentido do eixo z , conforme a figura.

a Determine o vetor densidade de corrente elétrica J → C devido às cargas, supondo que seja uniforme no interior do resistor.

b Determine o vetor campo elétrico E → usando a lei de Ohm.

c Determine o vetor densidade de corrente de deslocamento J → D .

d Use a lei de Ampère- Maxwell para determinar o vetor campo magnético B → no interior do resistor a uma distância r do seu eixo.

Passo 1

a Determine o vetor densidade de corrente elétrica J → C devido às cargas, supondo que seja uniforme no interior do resistor.

Como a corrente está se deslocando no sentido do vetor + k ^ , a densidade de corrente, por definição será dada por:

J → C = d i d A k ^

Como a corrente independe da área, podemos dizer que:

J → C = i t A k ^

Onde A = π a 2 e i t = I cos ⁡ ω t . Portanto:

J → C = I π a 2 cos ⁡ ω t k ^

Passo 2

b Determine o vetor campo elétrico E → usando a lei de Ohm.

O campo elétrico está associado à densidade de corrente por:

E → = ρ J → C

Eu sei que o problema não fala na resistividade ρ , mas fala na condutividade σ . Os dois estão associados por:

ρ = 1 σ

Logo:

E → = J → C σ

Substituindo a expressão de J → C , teremos:

E → = I σ π a 2 cos ⁡ ω t k ^

Passo 3

c Determine o vetor densidade de corrente de deslocamento J → D .

Por definição, a corrente de deslocamento é dada por:

I D = ϵ 0 ∂ ϕ [ E ] ∂ t

Onde:

ϕ E = ∬ S E → ∙ d A →

Como a área é constante, podemos dizer que ϕ E = A E = π a 2 E , sendo assim:

I D = π a 2 ϵ 0 ∂ E ∂ t

Como a corrente independe da área, a densidade de corrente será dada por:

J D = I D A = I D π a 2 → J D = π a 2 ϵ 0 ∂ E ∂ t π a 2

J D = ϵ 0 ∂ E ∂ t

Logo:

J → D = ϵ 0 ∂ E → ∂ t

Agora podemos começar a brincar! :D

Substituindo a expressão de E → que encontramos anteriormente, teremos:

J → D = I σ π a 2 ϵ 0 ∂ ( cos ⁡ ω t ) ∂ t k ^

J → D = - I ω ϵ 0 σ π a 2 sen ⁡ ω t k ^

Passo 4

d Use a lei de Ampère- Maxwell para determinar o vetor campo magnético B → no interior do resistor a uma distância r do seu eixo.

A lei de Ampère-Maxwell é dada por:

∮ C B → ∙ d l → = μ 0 I C + μ 0 I D

A nossa amperiana aqui é uma circunferência de raio r , logo:

2 π r B = μ 0 I C + μ 0 I D

B = μ 0 I C + I D 2 π r

A corrente de condução I C é a corrente dada pelo problema, logo:

I C = I cos ⁡ ω t

A corrente de deslocamento I D , por definição, é dada por:

J D = I D A → I D = π a 2 J D

Substituindo a expressão de J D , teremos:

I D = - π a 2 I ω ϵ 0 σ π a 2 sen ⁡ ω t

I D = - I ω ϵ 0 σ sen ⁡ ω t

Passo 5

Agora que já calculamos I C e I D , o campo magnético será dado por:

B = μ 0 I C + I D 2 π r

B = μ 0 2 π r I cos ⁡ ω t - I ω ϵ 0 σ sen ⁡ ω t

B = μ 0 I 2 π r cos ⁡ ω t - ω ϵ 0 σ sen ⁡ ω t

O campo magnético terá sempre direção tangencial, portanto:

B → = μ 0 I 2 π r cos ⁡ ω t - ω ϵ 0 σ sen ⁡ ω t ϕ ^

Resposta

a

J → C = I π a 2 cos ⁡ ω t k ^

b

E → = I σ π a 2 cos ⁡ ω t k ^

c

J → D = - I ω ϵ 0 σ π a 2 sen ⁡ ω t k ^

d

B → = μ 0 I 2 π r cos ⁡ ω t - ω ϵ 0 σ sen ⁡ ω t ϕ ^

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