Um fio A de comprimento L   muito grande é percorrido por uma corrente   i 0 no sentido positivo do eixo-z, como mostra a figura. Esse fio está envolto por uma casca cilíndrica C , também de comprimento   L , de raio interno R / 2 e raio externo R . A corrente que percorre a casca cilíndrica não é homogênea, obedecendo a uma densidade de corrente j ( r ) ,onde r   é a distância com relação ao centro do cilindro.

a) Considere que a densidade de corrente do fio B é j ( r ) = j 0   ( R / r ) onde j 0 é desconhecido.

Encontre o valor de j0 para que o campo magnético possua um valor constante na região interior da casca cilíndrica e encontre a magnitude desse campo (não se esqueça de considerar também a influência do campo do fio no interior). Encontre também qual a direção da corrente (z positivo ou z negativo).

b) Considere que a densidade de corrente é j ( r ) = j 0   ( r / R ) no eixo-z positivo (diferente do item (a). Se aplicamos na região do espaço um campo magnético constante na direção positiva do eixo x,   B → =   B 0 x ^ , calcule o vetor força magnética resultante na casca cilíndrica C devido ao campo magnético aplicado. Sugestão: considere que a casca é na realidade composta por diversos fios finos de corrente infinitesimal d i   =   j ( r )   d A .

c) Considere que a densidade de corrente é agora constante j ( r ) = i 0 / ( π R 2 ) e que o fio A foi deslocado de a com relação ao centro, como mostra a nova figura. Encontre a força magnética que o a casca C realiza no fio A. Justifique sua resposta com cálculos.

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Vou ajudar você aqui!

Letra (a):

Vou começar calculando o campo B c com a lei de Ampére:

B c . 2 π r = μ 0 i e n v

E a corrente envolvida é calculada separadamente:

i e n v = ∫ R 2 r j d A = ∫ R 2 r j 0 R r ' 2 π r ' d r ' = 2 π R j 0 r - R 2

Daí o campo B c é:

B c = μ 0 2 π r .   2 π R j 0 r - R 2

B c = μ 0 R j 0 - μ 0 j 0 R 2 2 r

Beleza?

O campo total é:

B T = B a + B c

B T = μ o i 0 2 π r + μ 0 R j 0 - μ 0 j 0 R 2 2 r

O primeiro e o terceiro termos devem se anular, então:

μ o i 0 2 π r = μ 0 j 0 R 2 2 r

E daí temos j 0 :

j 0 = i 0 π R 2

E podemos calcular B T :

B T = μ 0 R j 0 = μ 0 i 0 π R

A direção é + z ^ .

Passo 2

Letra (b):

A força que um pedacinho de fio faz é:

d F → = d i   ( L → × B → )

Como L → e B → são constantes, a força sobre um condutor vai ser:

F → = i T L B 0 z ^ × x ^ = i T L B 0 y ^

Passo 3

Agora vou calcular a corrente total i T . Usando a densidade de corrente dada, temos:

i T = ∫ R 2 R j 0 r R 2 π r   d r = 2 π R r 3 3 R 2 R = 2 π R R 3 3 - R 3 24 = 7 π j 0 R 2 12

Daí a força é:

F → = 7 π j 0 R 2 12 L B 0 y ^

Tranqüilo até aqui?

Vamos para o último item?

Passo 4

Letra (c):

Usando a lei de Ampére dentro da casca:

∮ B → ⋅ d l → = μ 0 i e n v

Mas i e n v = 0 , então:

B . 2 π r = 0

B = 0

E a força:

F → = i 0 L → × B → = 0

Beleza?

Espero ter te ajduado!

Resposta

( a )

+ μ 0 i 0 π R z ^

( b ) 7 π j 0 R 2 12 . L B 0 y ^

( c ) 0

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