Responde Aí

Um cilindro condutor muito comprido, com o seu eixo orientado ao longo do eixo z , transporta uma corrente elétrica cuja densidade é J → . A densidade de corrente, definida como a corrente por unidade de área, é simétrica em relação ao eixo do cilindro, mas não é uniforme e varia radialmente de acordo com a seguinte relação:

J   → = 2 i 0 π a 2 1 - r a 2 z ^ ,     p a r a   r ≤   a

J = 0 ,     p a r a   r ≥   a

Onde “ a ” é o raio do cilindro, “ r ” é a distância radial entre o ponto considerado e o eixo do cilindro e “ i 0 ” é uma constante com unidades [ A ].

a) Calcule o valor da corrente total i T que passa através da seção reta do fio.

b) Utilizando a Lei de Ampère, calcule o módulo do campo magnético B   na região   r ≥   a .

c) Obtenha a expressão para a corrente i a contida em uma seção reta circular de raio r ≤ a , centralizada no eixo do cilindro.

d) Utilizando a Lei de Ampère, calcule o módulo do campo magnético B na região r ≤ a .

e) Como se comparam os resultados dos itens b) e d) quando r = a ?

Passo 1

a)

Aqui ele pede a corrente total que passa na seção reta do fio, mas ele nos deu a densidade de corrente, que é corrente por unidade de área. Então para obtermos a corrente total, temos que integrar a densidade em toda a área transversal do fio.

i T = ∫ 0 A J → ⋅ d A →

Mas a seção transversal é uma circunferência, então d A = d π r 2 = 2 π r d r ,e o vetor d A → aponta na direção do eixo do fio, z ^ .

Como queremos a corrente total na área transversal do fio, temos que integrar nos limites do fio, isto é, quando 0 ≤ r ≤ a . Então

i T = ∫ 0 a 2 i 0 π a 2 1 - r a 2 z ^ ⋅ 2 π r d r z ^

i T = 2 i 0 2 π π a 2 ∫ 0 a 1 - r a 2 r d r

i T = 4 i 0 a 2 ∫ 0 a r - r 3 a 2 d r

i T = 4 i 0 a 2 r 2 2 - r 4 4 a 2 a 0

i T = 4 i 0 a 2 a 2 2 - a 4 4 a 2

Resolvendo:

i T = i 0

Show!

Passo 2

b)

Agora temos que calcular o módulo do campo magnético na região fora do fio, usando a lei de Àmpere.

A lei de Àmpere é essa daqui:

∮ B → ⋅ d l → = μ 0 i

Lembrando que estamos integrando sobre a curva amperiana, e que i é toda a corrente que está dentro dessa curva.

Como queremos o campo na região fora do fio, vamos escolher uma amperiana que esteja por fora do fio:

A curva amperiana é o círculo tracejado de raio r ≥ a .

Notem que a corrente que está dentro da amperiana é toda a corrente, i 0 , como já vimos na letra a).

Então

∮ B → ⋅ d l → = μ 0 i 0

∮ B d l = μ 0 i 0

Pois tanto o campo magnético como o elemento infinitesimal da curva estão “girando” ao redor do fio, então eles são paralelos a cada ponto.

d l = d 2 π r = 2 π d r

∮ B 2 π d r = μ 0 i 0

O módulo de B é constante ao longo de uma amperiana, pois ele estará sempre a uma distância r do fio.

Então

B 2 π r = μ 0 i 0

Então, para fora do fio, na região em que r ≥ a , o módulo do campo vale:

B = μ 0 i 0 2 π r

Passo 3

c)

Aqui é parecido ao que fizemos na letra a), mas agora não queremos a corrente total. Queremos saber qual é a corrente que está contida em uma seção circular de raio r , tal que r ≤ a . Dessa vez, vamos deixar a reposta em termos desse raio r . Então:

i a = ∫ 0 r J → ⋅ d A →

i a = 4 i 0 a 2 ∫ 0 r 1 - r a 2 r d r

i a = 4 i 0 a 2 ∫ 0 r r - r 3 a 2 d r

i a = 4 i 0 a 2 r 2 2 - r 4 4 a 2 r 0

i a = 4 i 0 a 2 r 2 2 - r 4 4 a 2

Note que, se fizermos r = a , retornamos para a situação do item a). Que seria a corrente total na seção transversal.

Passo 4

d)

Aqui é parecido ao que fizemos na letra b), mas agora não queremos que a amperiana esteja fora do fio. A nossa amperiana vai ser uma circunferência de raio r ≤ a , e a corrente que ela vai estar envolvendo vai ser i 0 , que encontramos na letra c).

∮ B → ⋅ d l → = μ 0 i

∮ B → ⋅ d l → = μ 0 i a

Como já vimos na letra b, B →   e   d l → são paralelos ponto a ponto, pois ambos apontam na mesma direção, ao redor do fio. E como o campo é constante sobre a amperiana, podemos tirá-lo da integral e ficamos com:

B 2 π r = μ 0 i a

B = μ 0 i a 2 π r

Substituindo a corrente:

B = μ 0 4 i 0 a 2 r 2 2 - r 4 4 a 2 2 π r

B = μ 0 2 i 0 π a 2 r 2 - r 3 4 a 2

Prontinho!!

Passo 5

e)

no item b) obtivemos:

B = μ 0 i 0 2 π r

Quando r = a :

B = μ 0 i 0 2 π a

No item d), obtivemos:

B = μ 0 2 i 0 π a 2 r 2 - r 3 4 a 2

Quando r = a :

B = μ 0 2 i 0 π a 2 a 2 - a 3 4 a 2

B = μ 0 2 i 0 π a 2 a 2 - a 4

B = μ 0 2 i 0 π a 2 a 4

B = μ 0 i 0 π a 2

Opa! Os resultados são iguais! O que era de se esperar, no ponto em que estamos em cima do fio o campo tem que o mesmo!

Resposta

a)

i T = i 0

b)

B = μ 0 i 0 2 π r

c)

i a = 4 i 0 a 2 r 2 2 - r 4 4 a 2

d) B = μ 0 2 i 0 π a 2 r 2 - r 3 4 a 2

e) Os resultados são iguais

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