Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

Passo 1

Queremos minimizar a função distância entre dois pontos, sendo que um dos pontos é o ponto 2,1 , - 1 e o outro ponto é um ponto que tem que estar no plano dado.

Assim, queremos minimizar a função distância entre dois pontos, sujeita a restrição do plano.

E qual é a função distância?

É essa aqui:

d x , y , z = x - 2 2 + y - 1 2 + z + 1 2

Mas, minimizar a função distância e minimizar a função distância ao quadrado dá no mesmo. Só que com a diferença de que a função distância ao quadrado não tem essa raiz quadrada aí, o que facilita nossa vida na hora de calcular as derivadas parciais.

Então vamos usar essa função aqui:

D x , y , z = x - 2 2 + y - 1 2 + z + 1 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais da função D ( x , y ) :

∂ D ∂ x = 2 x - 2 . 1 = 2 x - 4

∂ D ∂ y = 2 y - 1 . 1 = 2 y - 2

∂ D ∂ z = 2 z + 1 . 1 = 2 z + 2

Assim:

∇ D ( x , y , z ) = 2 x - 4 ,   2 y - 2 ,   2 z + 2

Passo 3

Agora, jogando tudo para o lado esquerdo na equação da restrição e chamando de g ( x , y , z ) :

g x , y , z = 4 x - 3 y + z - 56

E calculando seu gradiente:

∇ g ( x , y , z ) = 4 , - 3,1

Passo 4

Utilizando o multiplicador de Lagrange:

∇ D = λ ∇ g

⇒ 2 x - 4 ,   2 y - 2 ,   2 z + 2 = λ 4 , - 3,1

Igualando as coordenadas e adicionando a equação da restrição, ficamos com o sistema:

2 x - 4 = 4 λ 2 y - 2 = - 3 λ 2 z + 2 = λ 4 x - 3 y + z = 56  

Passo 5

Vamos substituir a terceira equação na primeira e na segunda para encontrar x e y em função de z .

Na primeira:

2 x - 4 = 4 2 z + 2 = 8 z + 8

2 x - 8 z = 12

x = 6 + 4 z

E na segunda:

2 y - 2 = - 3 2 z + 2 = - 6 z - 6

2 y + 6 z = - 4

y = - 2 - 3 z

Agora substituindo na última equação:

4 ( 6 + 4 z ) - 3 ( - 2 - 3 z ) + z = 56

24 + 16 z + 6 + 9 z + z = 56

26 z = 26

z = 1

Assim,

x = 6 + 4 z

x = 6 + 4.1

x = 10

E

y = - 2 - 3 z

y = - 2 - 3 . 1

y = - 5

Assim, nosso ponto é

P 0 = 10 , - 5,1

Passo 6

Agora, para descobrir a menor distância, é só substituir esse ponto na função distancia:

d x , y , z = x - 2 2 + y - 1 2 + z + 1 2

d 10 , - 5,1 = 10 - 2 2 + - 5 - 1 2 + 1 + 1 2

d 10 , - 5,1 = 64 + 36 + 4

d 10 , - 5,1 = 104

d 10 , - 5,1 = 2 26

Resposta

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