Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

Multiplicadores de Lagrange

Calcule, se existirem, o máximo e o mínimo absolutos de

f x , y , z = 2 x 2 + y 2 + z

na região x 2 + y 2 + z 2 = 1

Passo 1

Pegar equação da superfície e jogar tudo para o lado esquerdo da equação e deixar zero no lado direito:

Equação da superfície:

x 2 + y 2 + z 2 = 1

⇒ x 2 + y 2 + z 2 - 1 = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Definir função g x , y , z sendo o lado esquerdo da equação acima:

g x , y = x 2 + y 2 + z 2 - 1

Passo 3

Calcular gradiente de g x , y , z :

∇ g x , y , z = 2 x ,   2 y , 2 z

Passo 4

Utilizar multiplicador de Lagrange:

∇ f = λ ∇ g

⇒ 4 x ,   2 y ,   1 = λ 2 x ,   2 y ,   2 z

Passo 5

Igualar coordenadas e encontrar sistema:

4 x = λ 2 x   2 y = λ 2 y   1 = λ 2 z

Colocando algumas coisas em evidência nas duas primeiras equações:

2 λ - 2 x = 0   2 λ - 1 y = 0   2 λ z = 1

Passo 6

Adicionar equação da superfície ao sistema encontrado acima:

Equação da curva: x 2 + y 2 + z 2 = 1

λ - 2 x = 0   λ - 1 y = 0   2 λ z = 1   x 2 + y 2 + z 2 = 1

Passo 7

Resolver o sistema:

Pela primeira equação:

λ - 2 x = 0

Temos duas possibilidades:

λ - 2 = 0 ou x = 0

Passo 8

Primeira possibilidade:

λ - 2 = 0

⇒ λ = 2

Substituindo na segunda equação:

λ - 1 y = 0

⇒ 2 - 1 y = 0

⇒ y = 0

Substituindo na terceira equação:

2 λ z = 1

⇒ 2 2 z = 1

⇒ z = 1 4

E substituindo na última equação:

x 2 + y 2 + z 2 = 1

⇒ x 2 + 0 2 + 1 4 2 = 1

⇒ x 2 = 15 16

⇒ x = ± 15 4

Temos dois pontos para essa possibilidade:

± 15 4 ,   0   , 1 4

Passo 9

Segunda possibilidade:

x = 0

Pela segunda equação:

λ - 1 y = 0

Temos duas opções:

λ = 1 ou y = 0

Se λ = 1 :

Substituindo na terceira equação:

2 λ z = 1

⇒ 2 1 z = 1

⇒ z = 1 2

Substituindo na última equação:

x 2 + y 2 + z 2 = 1

⇒ 0 2 + y 2 + 1 2 2 = 1

⇒ y 2 = 3 4

⇒ y = ± 3 2

Se y = 0 :

Substituindo na última equação:

x 2 + y 2 + z 2 = 1

⇒ 0 2 + 0 2 + z 2 = 1

⇒ z 2 = 1

⇒ z = ± 1

Temos quatro pontos para essa segunda possibilidade:

0 ,   ± 3 2 , 1 2   ; 0 ,   0 ,   ± 1

Passo 10

Substituir pontos encontrados para determinar máximo e mínimo:

f x , y , z = 2 x 2 + y 2 + z

Substituindo ± 15 4 ,   0   , 1 4 :

f ± 15 4 ,   0   , 1 4 = 2 ± 15 4 2 + 0 2 + 1 4

⇒ f ± 15 4 ,   0   , 1 4 = 2 15 16 + 1 4

⇒ f ± 15 4 ,   0   , 1 4 = 15 8 + 1 4

⇒ f ± 15 4 ,   0   , 1 4 = 17 8

Passo 11

Substituindo 0 ,   ± 3 2 , 1 2 :

f 0 ,   ± 3 2 , 1 2 = 2 0 2 + ± 3 2 2 + 1 2

⇒ f 0 ,   ± 3 2 , 1 2 = 3 4 + 1 2

⇒ f 0 ,   ± 3 2 , 1 2 = 5 4

Passo 12

Substituindo 0 ,   0 ,   ± 1 :

f 0 ,   0 , ± 1 = 2 0 2 + 0 2 + ± 1

⇒ f 0 ,   0 , ± 1 = ± 1

Então:

f 0 ,   0,1 = 1

f 0,0 , - 1 = - 1

Passo 13

Temos então os seguintes valores:

f ± 15 4 ,   0   , 1 4 = 17 8

f 0 ,   ± 3 2 , 1 2 = 5 4

f 0 ,   0,1 = 1

f 0,0 , - 1 = - 1

Então o valor máximo é 17 / 8 , correspondente aos pontos ± 15 4 ,   0   , 1 4 .

E o valor mínimo é - 1 , correspondente ao ponto 0 ,   0 ,   - 1 .

Resposta

Valor máximo nos pontos ± 15 4 ,   0   , 1 4 : 17 8

Valor mínimo no ponto 0 ,   0 ,   - 1 : - 1

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