Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

UNICAMP, Cálculo 2, P1, 2015.2, questão 5

Uma empresa de serviço de entrega restringe as dimensões do pacote a caixas retangulares tais que o comprimento mais o dobro da largura mais o dobro da altura não pode exceder 108 centímetros. Quais são as dimensões do pacote com maior volume que a empresa entrega?

Passo 1

Primeiro de tudo, vamos dar nomes aos bois.

Se chamarmos o comprimento da caixa de x , a largura de y e a altura de z , temos que o volume da caixa é

V x , y , z = x y z

Que é a função que queremos maximizar.

Porém, a empresa restringe as dimensões da caixa tais que

x + 2 y + 2 z ≤ 108

O que a questão pede então é que maximizemos a função volume V ( x , y , z ) com uma restrição x + 2 y + 2 z ≤ 108 .

Não sei você, mas isso tem muita cara de Multiplicadores de Lagrange pra mim.

Vamos lá então.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Mas, como nem tudo são flores, não podemos aplicar direto Lagrange, pois temos uma restrição com “ ”, e não “ = ”. Então vamos começar achando os pontos críticos da função.

O gradiente de V é:

∇ V x , y , z = y z , x z , x y

Igualando a zero:

y z , x z , x y = 0 ,   0 ,   0

Isso é verdade se

x = 0

y = 0

Ou

z = 0

Assim, o valor da função em qualquer ponto crítico é sempre zero. Assim, os pontos de máximo encontram-se na fronteira da região.

Aí sim podemos usar os multiplicadores de Lagrange.

Passo 3

A fronteira da região é definida por:

x + 2 y + 2 z = 108

Jogando tudo pra esquerda:

x + 2 y + 2 z - 108 = 0

Chamamos isso de g x , y , z :

g x , y , z = x + 2 y + 2 z - 108

Calculamos o seu gradiente:

∇ g x , y , z = 1,2 , 2

Passo 4

Ótimo, agora precisamos dizer que os gradientes são paralelos. Assim:

∇ V x , y , z = λ ∇ g x , y , z

y z , x z , x y = λ 1,2 , 2

Igualando cada coordenada e acrescentado a equação da restrição, teremos:

y z = λ x z = 2 λ x y = 2 λ x + 2 y + 2 z = 108

Passo 5

Resolvendo esse sistema, temos que, da segunda e terceira equação,

y = z

Substituindo isso na primeira equação

y 2 = λ

y = + λ

Porque y é a largura da caixa, então, é sempre positivo.

Voltando a terceira equação, chegamos a

x λ = 2 λ  

x = 2 λ λ

Racionalizando, temos

x = 2 λ

Finalmente, jogando

x = 2 λ

y = z = λ

Na equação da restrição, ficamos com

2 λ + 2 λ + 2 λ = 108

6 λ = 108

λ = 18

Assim

x = 2 λ = 2.18 = 36

y = z = λ = 18

E essas são as dimensões do pacote!

Resposta

As dimensões do pacote são

x = 36

y = 18

z = 18

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas