Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

Considere

f x , y = x 4 + y 4 - 4 x y

  1. Exiba todos os pontos críticos de f ( x , y ) e explicite o gradiente de f .
  2. Classifique os pontos críticos de f ( x , y ) e explicite a matriz hessiana de f
  3. Seja
  4. C = x , y ∈ R 2   x 4 + y 4 = 6 }  

    Determine o valor máximo e o valor mínimo de f ( x , y ) restrita à C .

  5. Seja

K = x , y ∈ R 2   x 4 + y 4 ≤ 6 }  

Determine o valor máximo global e o valor mínimo global de f ( x , y ) restrita a K . Explicite os pontos onde o máximo e mínimo são assumidos e diga se são pontos do interior ou da fronteira de K .

Passo 1

a )

Calculando o gradiente:

f x , y = x 4 + y 4 - 4 x y

∇ f x , y = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

∇ f x , y = 4 x 3 - 4 y , 4 y 3 - 4 x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Encontrando os pontos críticos:

∇ f = 0 →

⇒ 4 x 3 - 4 y , 4 y 3 - 4 x = 0,0

Igualando as coordenadas:

4 x 3 - 4 y = 0   4 y 3 - 4 x = 0

Da primeira equação, temos

y = x ³

Substituindo na segunda equação,

4 ( x 3 ) 3 - 4 x = 0

4 x 9 - 4 x = 0

x 9 - x = 0

x x 8 - 1 = 0

x = 0

Ou

x = ± 1

Assim,

y = 0

Ou

y = ± 1

Assim, os pontos críticos são

P 1 = 0,0

P 2 = 1,1

P 3 = ( - 1 , - 1 )

Passo 3

b )

Agora vamos classificar esses pontos críticos.

Calculando derivadas segundas:

f x x = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x = ∂ ∂ x 4 x 3 - 4 y = 3.4 . x 2 = 12 x ²

f y y = ∂ ∂ y ∂ f ∂ y = ∂ ∂ y 4 y 3 - 4 x = 4.3 y 2 = 12 y ²

f x y = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y = ∂ ∂ x 4 y 3 - 4 x = - 4

Passo 4

Calculando a matriz hessiana H P 0 :

H P 0 = f x x P 0 f x y P 0 f y x P 0 f y y P 0

H P 0 = 12 x ² - 4 - 4 12 y ²

H P 0 = 144 x 2 y 2 - 16

E essa aí é nossa matriz hessiana genérica. Vamos agora classificar cada um dos pontos críticos.

Passo 5

Começando pelo ponto P 1 = 0,0 :

H 0,0 = 144 . 0 2 0 2 - 16 = - 16 < 0

Assim, P 1 = ( 0,0 ) é ponto de sela.

Agora vamos classificar o ponto P 2 = ( 1,1 ) :

H 1,1 = 144 . 1 2 1 2 - 16 = 128 > 0

Vamos precisar analisar o sinal de f x x também.

f x x 1,1 = 12.1 2 = 12 > 0

Assim, P 2 = ( 1,1 ) é ponto de mínimo.

Por fim, vamos para P 3 = ( - 1 , - 1 ) :

H 1,1 = 144 . ( - 1 ) 2 ( - 1 ) 2 - 16 = 128 > 0

Vamos precisar analisar o sinal de f x x também.

f x x 1,1 = 12 . ( - 1 ) 2 = 12 > 0

Assim, P 3 = ( - 1 , - 1 ) também é ponto de mínimo.

Passo 6

c )

Aqui, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, com a restrição de

g x , y = x 4 + y 4 - 6 = 0

O gradiente de f nós já temos do passo 1:

∇ f x , y = 4 x 3 - 4 y , 4 y 3 - 4 x

Então, falta calcular o gradiente de g :

∇ g x , y = 4 x 3 , 4 y 3

Passo 7

Agora sim, aplicando o método:

∇ f = λ ∇ g

4 x 3 - 4 y , 4 y 3 - 4 x = λ 4 x 3 , 4 y 3

Igualando as coordenadas e adicionando a equação da restrição, ficamos com o sistema:

4 x 3 - 4 y = 4 x 3 λ   4 y 3 - 4 x = 4 y 3 λ   x 4 + y 4 = 6

Passo 8

Considerando x e y diferentes de zero e isolando λ na primeira e segunda equação, podemos dizer que

4 x 3 - 4 y 4 x 3 = 4 y 3 - 4 x 4 y 3

x 3 - y x 3 = y 3 - x y 3

x 3 y 3 - y 4 = x 3 y 3 - x 4

y 4 = x 4

y = ± x

Substituindo isso na última equação:

x 4 + ± x 4 = 6

2 x 4 = 6

x 4 = 3

x = ± 3 4

Logo

y = ± 3 4

Então, temos os seguintes pontos candidatos a máximo e mínimo de f ( x , y ) restrita à C

P 4 = 3 4 , 3 4

P 5 = - 3 4 , - 3 4

P 6 = - 3 4 , 3 4

P 7 = 3 4 , - 3 4

Que são todas as combinações possíveis com os sinais de x e y .

Passo 9

Agora pra descobrir quem é o máximo e quem é o mínimo, é só a gente testar substituindo na função.

f x , y = x 4 + y 4 - 4 x y

f 3 4 , 3 4 = 6 - 4 3

f - 3 4 , - 3 4 = 6 - 4 3

f - 3 4 , 3 4 = 6 + 4 3

f 3 4 , - 3 4 = 6 + 4 3

Assim, 6 + 4 3 é o valor máximo de f restrita a C e 6 - 4 3 é o valor mínimo de f restrita á C .

Passo 10

d )

Agora queremos saber os valores máximo e mínimo de f restrita à K , onde

K = x , y ∈ R 2   x 4 + y 4 ≤ 6 }  

SENU QUE

A gente já calculou os pontos de máximo e mínimo de f no espaço todo, na letra b e já calculou os valores máximo e mínimo de f restrito à

x 4 + y 4 = 6

OU SEJE, bem na fronteira de K .

Quer dizer, a gente já calculou tudinho tudinho. Não tem quase nada pra calcular aqui na letra d .

A gente só precisa mesmo é dizer, dentre todos os pontos e consequentemente valores que temos, qual é o maior de todos e qual é o menor de todos e se ele ocorre dentro de K , isto é, em

x 4 + y 4 < 6

Ou na fonteira de K , isso é, em

x 4 + y 4 = 6

Passo 11

Então vamos lá.

Na letra b achamos que os pontos P 2 = ( 1,1 ) e P 3 = ( - 1 , - 1 ) são pontos de mínimo.

Esses pontos estão no interior de K , pois ( ± 1 ) 4 + ( ± 1 ) 4 = 2 < 6

E nesses pontos a função vale

f ± 1 , ± 1 = - 2

Já na letra c , achamos que na fronteira, tínhamos

f 3 4 , 3 4 = 6 - 4 3

f - 3 4 , - 3 4 = 6 - 4 3

f - 3 4 , 3 4 = 6 + 4 3

f 3 4 , - 3 4 = 6 + 4 3

Portanto, - 2 é o valor mínimo da função, assumido nos pontos de interior P 2 = ( 1,1 ) e P 3 = ( - 1 , - 1 ) e 6 + 4 3 é o valor máximo da função, assumido nos pontos de fronteira P 6 = - 3 4 , 3 4 e P 7 = 3 4 , - 3 4 .

Resposta

a )

∇ f x , y = 4 x 3 - 4 y , 4 y 3 - 4 x

Os pontos críticos são

P 1 = 0,0

P 2 = 1,1

P 3 = ( - 1 , - 1 )

b )

P 1 = 0,0 é   p o n t o   d e   s e l a .

P 2 = ( 1,1 ) é ponto de mínimo.

P 3 = ( - 1 , - 1 ) é ponto de mínimo.

c )

6 + 4 3 é o valor máximo de f restrita a C e 6 - 4 3 é o valor mínimo de f restrita á C .

d )

- 2 é o valor mínimo da função, assumido nos pontos de interior P 2 = ( 1,1 ) e P 3 = ( - 1 , - 1 ) e 6 + 4 3 é o valor máximo da função, assumido nos pontos de fronteira P 6 = - 3 4 , 3 4 e P 7 = 3 4 , - 3 4 .

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