Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

Determine o retângulo de perímetro máximo (com lados paralelos aos eixos coordenados) que pode ser inscrito na elipse de equação

x 2 + 4 y 2 = 4

Passo 1

Queremos maximizar a função perímetro do retângulo restrito a equação da elipse

x 2 + 4 y 2 = 4

Então, tá na cara que vamos usar o método de Lagrange.

A questão é que antes de sair correndo pra usar, vamos precisar pensar rapidinho quem é a nossa função f , ou seja, aquela que a gente quer maximizar, ou seja, a função perímetro do retângulo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Sabemos que nosso retângulo tem seus lados paralelos aos eixos coordenados.

Então se colocarmos o centro dele na origem, teremos algo mais ou menos assim:

Se dissermos que o ponto D tem coordenadas ( x , y ) , então podemos dizer que o perímetro do nosso retângulo é

f x , y = 4 x + 4 y

E o gradiente de f é:

∇ f x , y = ( 4,4 )

Passo 3

Agora sim! Nosso retângulo está restrito à elipse, assim,

g x , y = x 2 + 4 y 2 - 4

E o gradiente de g é:

∇ g x , y = ( 2 x , 8 y )

Passo 4

Aplicando o método dos multiplicadores de Lagrange:

∇ f = λ ∇ g

( 4,4 ) = λ ( 2 x , 8 y )

Igualando as coordenadas e adicionando a equação da restrição, ficamos com o sistema:

4 = 2 λ x   4 = 8 λ y   x 2 + 4 y 2 = 4

Passo 5

Vamos resolver esse sistema!

Igualando as duas primeiras equações:

2 λ x = 8 λ y

x = 4 y

Substituindo isso na equação da restrição:

x 2 + 4 y 2 = 4

( 4 y ) 2 + 4 y 2 = 4

16 y 2 + 4 y 2 = 4

20 y 2 = 4

y 2 = 4 20 = 1 5

y = 1 5 = 5 5

OBS: estamos falando de uma medida de comprimento, por isso que eu não coloquei ± , ta bem?

E, como

x = 4 y

x = 4 5 5

E temos o ponto

D = 4 5 5 , 5 5

Passo 6

Agora, para saber o perímetro máximo, é só substituir o ponto 4 5 5 , 5 5 na função

f x , y = 4 x + 4 y

f 4 5 5 , 5 5 = 4 . 4 5 5 + 4 . 5 5 = 16 5 + 4 5 5 = 20 5 5 = 4 5

Portanto, o retângulo de perímetro máximo inscrível na elipse tem vértice superior direito no ponto D = 4 5 5 , 5 5

E perímetro máximo igual a 4 5 .

Resposta

o retângulo de perímetro máximo inscrível na elipse tem vértice superior direito no ponto D = 4 5 5 , 5 5

E perímetro máximo igual a 4 5 .

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