Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

UFRJ, Cálculo 2, P2 2016.1, questão 12

Quais os valores mínimos e máximos respectivamente de f x , y = x 4 + 2 y 4 no domínio x 2 + y 2 ≤ 1 ?

a 0 e 2 ;

b 0 e 2 3 ;

c 1 e 3 2 ;

d 0 e 1 ;

e - 1 e 2 3 .

Passo 1

A gente basicamente vai ter de fazer duas coisas:

  • Verificar máximos e mínimos no interior da região, usando o teste da segunda derivada
  • Verificar máximos e mínimos na fronteira da região usando os multiplicadores de Lagrange.

Então bora lá. Vamos calcular as derivadas parciais de f x , y e igualar a zero para encontrar os pontos críticos. Temos:

f x = 4 x 3 = 0

x = 0

Temos também:

f y = 8 y 3 = 0

y = 0

Portanto temos um ponto crítico da função em P 0 = 0,0 . Não podemos esquecer de verificar se ele está no nosso domínio:

x 2 + y 2 ≤ 1

0 2 + 0 2 ≤ 1

O ponto pertence ao domínio.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos utilizar os multiplicadores de Lagrande para verificar máximos e mínimos na fronteira. Então teremos g x , y = x 2 + y 2 - 1 . Calculando sendo gradiente fica:

g x = 2 x

g y = 2 y

∇ g x , y = 2 x , 2 y

Passo 3

Agora vamos fazer:

∇ f ( x , y ) = λ ∇ g ( x , y )

x 2 + y 2 = 1

Vamos ter as seguintes equações:

4 x 3 = λ 2 x 1 8 y 3 = λ 2 y 2 x 2 + y 2 = 1 3

Da equação 1 temos :

4 x 3 - 2 λ x = 0

x 4 x 2 - 2 λ = 0  

  • caso 1: x = 0
  • caso 2: 4 x 2 - 2 λ = 0

Passo 4

Vamos ver cada um dos casos.

Caso 1:

Se x = 0 , da equação 3 temos que y 2 = 1 . Então temos o ponto P 1 = 0,1 e P 2 = 0 , - 1

Caso 2:

Se 4 x 2 - 2 λ = 0 , chegamos a :

4 x 2 - 2 λ = 0

λ = 2 x 2

Substituindo na equação 2 temos:

8 y 3 = 2 x 2 2 y

8 y 3 - 4 x 2 y = 0

Colocando y em evidência temos:

y 8 y 2 - 4 x 2 = 0  

Caso 2.1:

y = 0

Da equação 3 temos x = 1 ou x = - 1 . Temos o ponto P 3 = 1,0 e P 4 = ( - 1,0 ) .

Caso 2.2:

8 y 2 = 4 x 2 → x 2 = 2 y 2

Da equação 3 temos

2 y 2 + y 2 = 1

Calculando y temos:

y = ± 3 3

Então temos os pontos:

P 5 = 6 3 , 3 3

P 6 = 6 3 , - 3 3

P 7 = - 6 3 , 3 3

P 8 = - 6 3 , - 3 3

Passo 5

Para terminar, vamos substituir esses valores na função f x , y o que fornecer o maior e menor valor respectivamente será o máximo e o mínimo.

Vemos que P 0 é ponto de mínimo pois P 0,0 = 0

E vemos também que P 1 e P 2 são pontos de máximo pois a função assume o maior valor f 0 , ± 1 = 2

Resposta

Letra a

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