Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

Considere a figura abaixo que representa as curvas de nível de uma função z = f x , y com derivadas parciais contínuas e uma restrição g x , y = k . (Circunferência)

a) Marque na figura todos os pontos críticos de f .

b) Tendo por base o valor das curvas de nível indicado na figura classifique os pontos críticos em a)

c) Desenhe na figura o vetor gradiente da função f no ponto - 3.0 ,   2.5 .

d) Indique, com um X sobre a figura, os pontos que são solução do seguinte sistema:

∇ f x , y = λ ∇ g x , y

g x , y = k

e) Olhando para a figura, você consegue concluir onde ocorrem os valores máximo e mínimo da função f restrita à circunferência?

Passo 1

a) Cara, a gente tem as curvas de nível do gráfico de uma função. A ideia é aqui é usar nossa imaginação para ver como esse gráfico está em 3D, tá?

A gente precisa identificar os pontos críticos. São pontos onde as derivadas parciais zeram. Se zeram, a gente pode pensar que são pontos onde a taxa de variação (a derivada) muda de sinal.

Mas como a gente precisa que as derivadas zerem ao mesmo tempo, a gente vai ver se essa mudança de sinal ocorre ao mesmo tempo em duas direções perpendiculares. Aí a gente sabe que as duas derivadas parciais zeram, beleza?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Por exemplo, nesse ponto:

Na direção vermelha, nossa função cresce e depois decresce. E na direção azul, ele decresce e depois volta a crescer de novo. Aí mudamos de sinal em duas direções perpendiculares, então temos um ponto crítico.

Aí marcando todos os pontos onde acontece algo assim, teremos isso:

Passo 3

b) Cara, na curva de fora a gente tem um valor alto f = 196 , e nas curvas interiores, a gente tem valores baixos, f = 20 e f = 35 . Isso mostra que o gráfico da nossa função é máximo nas bordas e tem seus mínimos no interior.

Percebe que os pontos verdes são os pontos mais baixos do nosso gráfico (tem os menores valores). Como a gente viu que eles são pontos críticos, podemos dizer que eles são pontos de mínimo. Em volta deles, a função parece um paraboloide elíptico virado para cima.

Saindo deles, a gente só consegue subir.

Mas nos pontos laranjas

Se a gente andar no sentido da setinha roxa, a gente sobe (aumenta z ), mas se andar no sentido da setinha rosa, a gente desce (diminui z ). Isso significa que a gente tem algo assim ao redor desses pontos:

Por isso, esses são pontos de sela (se parecem até com uma sela de cavalo, né?),

Passo 4

c) Cara, esse é o ponto - 3 ,   2.5 :

Para desenhar o vetor gradiente nele, a gente precisa lembrar que o vetor gradiente está sempre no sentido em que a função cresce mais, e ele é perpendicular a curva de nível que passa pelo ponto.

Se a gente desenhar um vetor normal a curva de nível que passa pelo nosso ponto, saindo do nosso ponto, temos algo assim:

Percebe que ele aponta para o sentido onde a função cresce.

Passo 5

d) Vamos entender quem são os pontos que satisfazem esse sistema:

∇ f x , y = λ ∇ g x , y

g x , y = k

Dizer que g x , y = k

Significa que x , y precisam pertencer a circunferência.

Passo 6

Agora o que quer dizer:

∇ f x , y = λ ∇ g x , y

Cara, ∇ f x , y é o vetor gradiente da nossa função. Já ∇ g x , y é o vetor gradiente de g x , y , quando a gente escreve que a equação da circunferência é

g x , y = k

Estamos querendo dizer que a circunferência é uma curva de nível de g x , y . E se ela é uma curva de nível de g , o vetor gradiente ∇ g x , y é normal a essa curva no ponto x , y !

λ é uma constante. Então o que aquela equação está querendo dizer é que x , y que a satisfazem, são pontos onde esses vetores gradientes são múltiplos um do outro. Ou seja, são paralelos!

Passo 7

Se os vetores normais a essas duas curvas forem paralelos em um ponto, os vetores tangentes também serão paralelos nesse mesmo ponto, certo?

O que isso quer nos dizer? Cara, esse sistema tem como resposta os pontos x , y , que estão dentro da circunferência, e são pontos onde os vetores tangentes às duas curvas são paralelos entre si.

Aí marcando os pontos que têm essas características:

Passo 8

e) Cara, o ponto de máximo vai ser o ponto mais perto do ponto de máximo da função em si, que ocorre dentro da curva de f x , y = 20 .

Já o ponto de máximo está mais próximo da borda, que a parte mais alta do nosso gráfico. Percebe que a gente tem um ponto em cima da borda. Esse vai ser o ponto de máximo. Aí marcando esses pontinhos:

Resposta

Resposta nas imagens nos passos

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