Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

Encontre o valor máximo e o valor mínimo da função

f x , y = x 2 + y 2

Na região

D = x , y ∈ R 2 ; x 2 - x y + y 2 ≤ 9

Passo 1

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos de f que pertencem a região D .

O gradiente de f é:

∇ f x , y = 2 x ,   2 y

Igualando a zero:

2 x ,   2 y = 0 ,   0

Assim, o único ponto crítico é

x , y = ( 0,0 )

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Passo 2

Agora vamos buscar os candidatos a máximo e mínimo na fronteira da região D , isto é, na curva

g x , y = x 2 - x y + y 2 = 9

O gradiente de g é:

∇ g x , y = 2 x - y ,   2 y - x

Igualando a zero:

2 x - y = 0

2 y - x = 0

Da primeira equação,

y = 2 x

Substituindo na segunda:

2 2 x - x = 0

x = 0

Assim,

y = 0

E o único candidato é

x , y = ( 0,0 )

Mas, esse ponto não pertence a fronteira da região g x , y = 9 . Então, podemos aplicar o método dos multiplicadores de Lagrange.

Passo 3

Perfeito, então agora, só precisamos dizer que os gradientes são paralelos! Isso significa que:

2 x , 2 y = λ 2 x - y , 2 y - x

Igualando cada coordenada e acrescentado a equação da restrição, teremos:

2 x = λ ( 2 x - y ) 2 y = λ ( 2 y - x ) x 2 - x y + y 2 = 9  

Passo 4

Agora, só precisamos manejar as 3 primeiras equações e descobrir os valores das variáveis usando a última (restrição).

Da primeira e segunda equação, temos que

λ = 2 x 2 x - y

e

λ = 2 y 2 y - x

Assim

2 x 2 x - y = 2 y 2 y - x

4 x y - 2 x 2 = 4 x y - 2 y 2

x 2 = y 2

y = ±   x

Passo 5

Beleza, agora substituindo isso na ultima equação, temos:

Começando por x = y :

x 2 - x . x + x 2 = 9

x = ± 3

Então nossos canditados a máximo e mínimo são:

( 3,3 )

( - 3 , - 3 )

Passo 6

Agora y = - x :

x 2 - x . ( - x ) + ( - x ) 2 = 9

3 x 2 = 9

x = ± 3

E nossos candidatos a máximo e mínimo são:

( 3 , - 3 )

( - 3 , 3 )

Passo 7

Ufa! Agora sim! Acho que encontramos todos os pontos, né? Agora, só precisamos ver os valores que a função assume em cada um deles.

Lembrando que a função é:

f x , y = x 2 + y 2

P 1 = ( 0,0 )

P 2 = ( 3,3 )

P 3 = ( - 3 , - 3 )

P 4 = ( 3 , - 3 )

P 5 = ( - 3 , 3 )

Assim, temos

f P 1 = 0

f P 2 = 18

f P 3 = 18

f P 4 = 6

f P 5 = 6

Temos, então, que o valor máximo de f é 18 e o valor mínimo de f é 0.

Resposta

O valor máximo de f é 18 e o valor mínimo de f é 0.

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