Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

Considere a função

f x , y = x y

Definida no conjunto

D = { ( x , y ) ∈ R 2   ;   x 2 + 4 y 2 ≤ 4 }

Assinale a afirmativa correta:

  1. f em dois pontos de máximo e nenhum ponto de mínimo absoluto em D . O valor máximo de f em D é 1 .
  2. f em dois pontos de máximo e um ponto de mínimo absoluto em D . O valor máximo e mínimo de f em D são 1 e 0 , respectivamente.
  3. f em dois pontos de máximo e dois pontos de mínimo absolutos em D . O valor máximo e mínimo de f em D são 1 e - 1 , respectivamente.
  4. f não tem pontos de máximo e mínimo absoluto em D
  5. Todas as demais alternativas são falsas.

Passo 1

Bom, vamos precisar descobrir os pontos de máximo e/ou mínimo de f com a restrição do conjunto fechado e limitado D .

Não podemos aplicar direto Lagrange, pois temos uma restrição com “ ”, e não “ = ”. Então vamos começar achando os pontos críticos da função.

O gradiente de f é:

∇ f x , y = y , x

Igualando a zero, temos o ponto crítico:

P 0 = ( 0,0 )

E esse ponto está dentro da região D , pois

0 2 + 4.0 2 ≤ 4

Assim, vamos guardar esse candidato a máximo ou mínimo da fundção.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, para encontrar os candidatos na fronteira da região D , vamos usar Lagrange.

A fronteira da região é definida por:

x 2 + 4 y 2 = 4

Jogando tudo pra esquerda:

x 2 + 4 y 2 - 4 = 0

Chamamos isso de g x , y :

g x , y = x 2 + 4 y 2 - 4

Calculamos o seu gradiente:

∇ g x , y = 2 x , 8 y

Passo 3

Perfeito, agora, só precisamos dizer que os gradientes são paralelos! Isso significa que:

y , x = λ 2 x , 8 y

Igualando cada coordenada e acrescentado a equação da restrição, teremos:

y = λ . 2 x x = λ . 8 y x 2 + 4 y 2 = 4  

Passo 4

Agora, só precisamos manejar as 2 primeiras equações e descobrir os valores das variáveis usando a última (restrição). Como na primeira equação já temos o y isolado em função de x , vamos substituir isso na segunda equação e vê onde a gente chega:

x = 8 λ ( 2 λ x )

Considerando que x ≠ 0 :

16 λ 2 = 1

λ = ± 1 4

Assim, ficamos com 3 situações:

λ = 1 4

λ = - 1 4

x = 0

Passo 5

Vamos começar analisando a primera situação:

λ = 1 4

Substituindo na primeira equação:

y = x 2

Agora podemos substituir isso na equação a restrição e ficamos com:

x 2 + 4 x 2 2 = 4

x 2 + x 2 = 4

x 2 = 2

x = ± 2

E dai a gente tira que

y = ± 2 2

Portanto, temos mais dois pontos para candidatos de máximo e mínimo de f :

P 1 = 2 , 2 2

P 2 = - 2 , - 2 2

Passo 6

Show, agora, podemos fazer a mesma coisa pra analisar a segunda situação:

λ = - 1 4

Se você observar, como só acrescentamos um sinal de menos, o que vai acontecer é que vamos obter os mesmos resultados, só que com o sinal trocado. Assim, substituindo na primeira equação teremos

y = - x 2

Substituindo na restrição, teremos:

x = ± 2

E aí,

y = ∓ 2 2

E nossos candidatos serão:

P 3 = 2 , - 2 2

P 4 = - 2 , 2 2

Passo 7

Agora só falta analisar a última situação, que é quando x = 0 .

Substituindo na equação da restrição:

0 2 + 4 y 2 = 4

y = ± 1

E nossos últimos candidatos serão:

P 5 = 0,1

P 6 = 0 , - 1

Passo 8

Pronto! Acho que encontramos todos os pontos, né? Agora, só precisamos ver os valores que a função assume em cada um deles.

Lembrando que a função é:

f x , y = x y

Para P 0 = ( 0,0 ) , temos:

f 0,0 = 0

Para P 1 = 2 , 2 2 , temos:

f 2 , 2 2 = 1

Para P 2 = - 2 , - 2 2 , temos:

f - 2 , - 2 2 = 1

Para P 3 = 2 , - 2 2 , temos:

f 2 , - 2 2 = - 1

Para P 4 = - 2 , 2 2 , temos:

f - 2 , 2 2 = - 1

Para P 5 = 0,1 , temos:

f 0,1 = 0

Para P 6 = 0 , - 1 , temos:

f 0 , - 1 = 0

Temos, então, dois pontos de máximo e dois pontos de mínimo. E os valores máximo e mínimo são 1 e - 1 .

Resposta

L e t r a   c

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