Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

UNICAMP, Cálculo 2, Prof. Rafael Leão e Marcos Jardim, P1 2014.1, 4

Encontre os valores extremos da função f x , y = y 2 - y 4 - x 2 na região definida pela desigualdade x 2 + 4 y 2 ≤ 10 .

Passo 1

Vamos começar calculando o gradiente da função. Temos :

∇ f x , y = - 2 x , 2 y - 4 y 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Igualando a zero:

- 2 x , 2 y - 4 y 3 = 0,0

Da primeira coordenada:

→ - 2 x = 0

x = 0

Da segunda coordenada:

→ 2 y - 4 y 3 = 0

2 y 1 - 2 y 2 = 0

2 y = 0 o u 1 - 2 y 2 = 0

y = 0 o u y = ± 1 2

Logo, os pontos críticos são:

P 1 = 0,0 ,   P 2 = 0 , 1 2 ,   P 3 = 0 , - 1 2

Passo 3

Agora, vamos usar o teste da segunda derivada para classifica-los. Calculando as derivadas segunda, temos :

f x x = - 2

f x y = 0

f y x = 0

f y y = 2 - 12 y 2

Então o Hessiano vai ficar:

H P 0 = - 2 0 0 2 - 12 y 0 2 = - 4 + 24 y 0 2

Passo 4

No ponto P 1 = 0,0 , vamos ter:

H P 1 = - 4

Logo, P 1 é ponto de sela.

Fazendo o mesmo para P 2 = 0 , 1 2 , temos:

H P 2 = - 4 + 24 1 2 2 = - 4 + 24 2 = - 4 + 12 = 8

Logo, P 2 é ponto de máximo local pois f x x P 2 < 0 .

Finalmente, utilizando P 3 = 0 , - 1 2 , fica:

H P 2 = - 4 + 24 - 1 2 2 = - 4 + 24 2 = - 4 + 12 = 8

Logo, P 3 é ponto de máximo local pois f x x P 3 < 0 .

Passo 5

Agora, temos que olhar a fronteira da região. Que é

x 2 + 4 y 2 = 10

Para achar os extremos, vamos umar multiplicadores de Lagrange. Vamos fazer

g x , y = x 2 + 4 y 2 - 10 = 0

E queremos

∇ f x , y = λ ∇ g x , y

Então, vamos ter

∇ f x , y = f x , f y

∇ f = - 2 x , 2 y - 4 y 3

E

∇ g x , y = g x , g y

∇ g = 2 x , 8 y

Vamos ver como ficou esse sistema

- 2 x = λ 2 x 2 y - 4 y 3 = λ 8 y x 2 + 4 y 2 = 10

Passo 6

Da primeira equação, vamos ter

2 x 1 + λ = 0

Então

x = 0 o u λ = - 1

Se x = 0 , vamos jogar esse cara na última equação

0 2 + 4 y 2 = 10

y 2 = 10 4

y = ± 10 2

Assim, temos o ponto

0 , ± 10 2

Passo 7

Agora, se λ = - 1 , na segunda equação vamos ter

2 y - 4 y 3 = - 8 y

10 y - 4 y 3 = 0

y 10 - 4 y 2 = 0

Assim

y = 0 o u 10 - 4 y 2 = 0

Aquela segunda, é a achamos antes

y = 0 o u y = ± 10 2

Vamos nos preocupar só com y = 0 , porque o outro y já temos ali em cima.

y = 0 ⇒ x 2 + 4.0 2 = 10

x 2 = 10

x = ± 10

Assim, temos os pontos

± 10 , 0

Passo 8

Vamos achar os valores da função nos pontos que achamos ali em cima.

Além disso, vamos olhar os extremos locais que achamos antes.

P 2 = 0 , 1 2 ⇒ f P 2 = 1 2 2 - 1 2 4 - 0 2 = 1 2 - 1 4 = 1 4 P 3 = 0 , - 1 2 ⇒ f P 3 = - 1 2 2 - - 1 2 4 - 0 2 = 1 2 - 1 4 = 1 4 P 4 = 0 , 10 2 ⇒ f P 4 = 10 2 2 - 10 2 4 - 0 2 = 10 4 - 100 16 = - 60 16 = - 15 4 P 5 = 0 , - 10 2 ⇒ f P 5 = - 10 2 2 - - 10 2 4 - 0 2 = 10 4 - 100 16 = - 60 16 = - 15 4 P 6 = 10 , 0 ⇒ f P 6 = 0 2 - 0 4 - 10 2 = - 10 P 7 = - 10 , 0 ⇒ f P 7 = 0 2 - 0 4 - 10 2 = - 10

Bem, isso nos diz que os nossos pontos de máximo são

0 , 1 2   e   0 , - 1 2

E os de mínimo são

10 , 0   e   - 10 , 0

Resposta

pontos de máximo são

0 , 1 2   e   0 , - 1 2

E os de mínimo são

10 , 0   e   - 10 , 0

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