Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

Use o método dos multiplicadores de Lagrange para determinar os valores extremos de

f x , y = 2 x 2 + 3 y 2 - 4 x + 1

Sobre a circunferência

x 2 + y 2 = 1

Passo 1

Calcular gradiente da função:

∇ f x , y = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

Fazendo as derivadas parciais, vamos ter

∇ f x , y = 4 x - 4 ,   6 y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pegar equação da curva e jogar tudo para o lado esquerdo da equação e deixar zero no lado direito:

Equação da curva:

x 2 + y 2 = 1

⇒ x 2 + y 2 - 1 = 0

Passo 3

Definir função g x , y sendo o lado esquerdo da equação acima:

g x , y = x 2 + y 2 - 1

Passo 4

Calcular gradiente de g x , y :

∇ g x , y = 2 x , 2 y

Passo 5

Utilizar multiplicador de Lagrange:

∇ f = λ ∇ g

⇒ 4 x - 4 ,   6 y = λ 2 x , 2 y

Passo 6

Igualar coordenadas e encontrar sistema:

4 x - 4 = λ 2 x   6 y = λ 2 y

Passo 7

Adicionar a equação da curva ao sistema encontrado acima:

Equação da curva: x 2 + y 2 = 1

4 x - 4 = 2 λ x   6 y = 2 λ y     x 2 + y 2 = 1

Passo 8

Resolver o sistema:

Da segunda equação, temos:

y = 0

Ou

λ = 3

Temos então que analisar esses dois casos.

Passo 9

Substituindo λ = 3 na primeira equação, temos

4 x - 4 = 2 . ( 3 ) x

4 x - 6 x = 4

x = - 2

Colocando isso na terceira equação, ficamos

( - 2 ) 2 + y 2 = 1

4 + y 2 = 1

y 2 = - 3

E essa equação não tem solução real, logo, não tiramos candidatos a máximo ou mínimo dela.

Passo 10

Substituindo agora y = 0 na equação da curva, temos então que

x 2 + 0 2 = 1   ⇒ x = ± 1

Assim, os candidatos a máximo e mínimo são os pontos

P 1 = ( 1,0 )

P 2 = ( - 1,0 )

Passo 11

Substituir pontos encontrados:

Substituindo P 1 :

f P 1 = f 1 , 0

⇒ f P 1 = 2 . 1 2 + 3 . 0 2 - 4 . 1 + 1

⇒ f P 1 = - 1

Substituindo P 2 :

f P 2 = f - 1,0

⇒ f P 2 = 2 . ( - 1 ) 2 + 3 . 0 2 - 4 . ( - 1 ) + 1

⇒ f P 2 = 7

Portanto, - 1 é o valor mínimo de f sobre a circunferência e 7 é o valor máximo.

Resposta

- 1 é o valor mínimo de f sobre a circunferência e 7 é o valor máximo.

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