Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

Encontre os pontos da superfície

y 2 = 9 + x z

Mais próximos da origem.

Passo 1

Queremos achar os pontos da superfície dada que estão mais perto do ponto ( 0,0 , 0 ) , ou seja, queremos minimizar a função distância entre dois pontos, dada por

d = x - 0 2 + y - 0 2 + z - 0 2

Restrita a equação da superfície

y 2 = 9 + x z

Vamos usar então os multiplicadores de Lagrange!

Mas, antes de partirmos pro “vamô vê”, vamos pensar o seguinte: essa raiz na equação da distância vai atrasar a nossa vida na hora de derivar para pegar os vetores gradientes, né? Então, vamos elevá-la ao quadrado! Sim, pois o máximo da função distância casa certinho com o máximo da função “distância ao quadrado”, percebe? E o mesmo vale para o mínimo das duas! Então, nossa função que será max/minimizada, será:

D x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

Agora sim, vamos lá.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar calculando os gradientes.

D x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

∇ D = ( 2 x , 2 y , 2 z )

A função que define a restrição é

G x , y , z = y 2 - 9 - x z

∇ G = ( - z , 2 y , - x )

Passo 3

Agora jogamos tudo na equação dos multiplicadores de LaGrange:

∇ D x , y , z = λ ∇ G ( x , y , z )

2 x , 2 y , 2 z = λ ( - z , 2 y , - x )

Igualando termo a termo e adicionando a equação da superfície de restrição, ficamos com o sistema

2 x = - λ z 1 2 y = λ 2 y 2 2 z = - λ x 3 y 2 = 9 + x z 4

Passo 4

Resolvendo o sistema, da segunda equação, considerando y ≠ 0 , temos

λ = 1

Substituindo na primeira e terceira equações:

z = - 2 x

ou

z = - x 2

Substituindo na equação da restrição

y 2 = 9 + x ( - 2 x )

2 x 2 + y 2 = 9

E

y 2 = 9 + x - x 2

x 2 2 + y 2 = 9

Igualando as duas equações

2 x 2 + y 2 = x 2 2 + y 2

Dai a gente tira que

x = 0

E, consequentemente,

z = - 2 . 0 = 0

Ou

z = - 0 2 = 0

Ainda não temos o valor de y , só sabemos que ele é diferente de zero. Assim, precisamos ainda substituir x = z = 0 na equação da restrição:

y 2 = 9 + 0.0

y = ± 3

Temos, portanto, os pontos candidatos:

P 1 = ( 0,3 , 0 )

P 2 = ( 0 , - 3,0 )

Passo 5

Testando na função D ( x , y , z ) , temos

D x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

D 0 , ± 3,0 = 0 2 + ± 3 2 + 0 2

D 0 , ± 3,0 = 9

Como esse é o único valor que encontramos para a função D e estamos buscando os pontos onde a distância é mínima,, então esse só pode ser o valor mínimo para D .

Assim, os pontos onde a distância é mínima são os pontos

P 1 = ( 0,3 , 0 )

P 2 = ( 0 , - 3,0 )

Resposta

P 1 = ( 0,3 , 0 )

P 2 = ( 0 , - 3,0 )

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