Supondo que em alguma era passada ou futura a temperatura em cada ponto ( x , y , z ) da superfície da Terra seja dada por T x , y , z = x 2 y z . Considerando a Terra como uma esfera perfeita de raio 6300 k m , escolha a resposta completa:

  1. Como λ = 0 , não há como concluir o exercício
  2. A temperatura máxima ocorre em 8 pontos distintos da Terra
  3. Existem infinitos pontos da Terra onde a temperatura é mínima, valendo 0 graus
  4. A temperatura mínima ocorre em quatro pontos distintos da Terra
  5. A temperatura máxima é de 6300 graus.

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O enunciado deu uma função (temperatura T ( x , y , z ) ), deu uma restrição (esfera de raio tal) e isso só tem um cheiro: de multiplicadores de Lagrange!

Como relembrar é viver, esse teorema nos diz que:

∇ → T = λ ∇ → g

Então a ideia aqui é:

  1. escrever a equação de uma esfera de raio 6300 k m
  2. construir a função g : trazendo tudo para o mesmo lado e igualar a zero;
  3. fazer o gradiente da restrição e da função temperatura
  4. substituir no teorema e achar os pontos candidatos!

Mas relaxa que vou fazer com você! E aos poucos vamos vendo em qual alternativa as nossas conclusões se encaixam!

Vamos nessa?

Passo 2

A função temperatura:

T x , y , z = x 2 y z

E a restrição:

x 2 + y 2 + z 2 = 6300 2

E a função g :

g = x 2 + y 2 + z 2 - 6300 2

O operador gradiente é:

∇ → = ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z

Agora o ∇ → T :

∇ → T = ( 2 x y z ,   x 2 z ,   x 2 y )

E o gradiente de g :

∇ → g = ( 2 x ,   2 y ,   2 z )

E substituindo na equação do teorema temos um sistema:

2 x y z ,   x 2 z ,   x 2 y = λ ( 2 x ,   2 y ,   2 z )

Igualando as componentes dos dois vetores:

1 : 2 x y z = λ 2 x 2 :     x 2 z = λ 2 y 3 :   x 2 y = λ 2 z

E mais a restrição: 4 : x 2 + y 2 + z 2 = 6300 2 .

Temos quatro equações com quatro incógnitas.

Agora vamos aos poucos descobrindo os pontos!

Passo 3

Da equação (1):

λ = y z

Da equação (2), usando o λ que achamos temos:

x 2 z = y z .   2 y

x 2 = 2 y 2

x = ± 2 y

E da terceira equação:

2 y 2 . y = y z . 2 z

y 2 = z 2

z = ± y

Então temos x e z em função de y , podemos substituir na restrição:

x 2 + y 2 + z 2 = 6300 2

2 y 2 + y 2 + y 2 = 6300 2

y 2 = 6300 2 2

y = ± 3150 k m

E daí o z é z = ± 3150 e x é x = ± 3150 2 .

Passo 4

Pessoal, aplicando no teorema achamos o seguinte resultado:

x = ± 3150 2

y = ± 3150

z = ± 3150

Agora vamos recapitular nossas alternativas:

  1. Como λ = 0 , não há como concluir o exercício
  2. A temperatura máxima ocorre em 8 pontos distintos da Terra
  3. Existem infinitos pontos da Terra onde a temperatura é mínima, valendo 0 graus
  4. A temperatura mínima ocorre em quatro pontos distintos da Terra
  5. A temperatura máxima é de 6300 graus.

Já podemos eliminas as alternativas:

1 – porque λ ≠ 0 ;

3 – existem finitos pontos, então essa agente elimina também;

Agora vamos as outras alternativas!

A temperatura da terra vai ser em quantos pontos críticos? Vamos ver as combinações de sinais:

+ + + - - - + + - + - + - + + - - + - + - - - +

Temos:

  • Duas opções com sinais iguais;
  • Três opções com 2 + e 1 -;
  • Três opões com 2 – e 1+ .

Sendo assim temos 8 pontos distintos! Alternativa correta 2!

Assim eliminamos também a alternativa 4.

E pra fechar com chave de ouro, a temperatura em um desses pontos (vou testar só com um ponto, os outros darão o mesmo valor, testa aí!) é:

T = 2 . 3150 2 . 3150.3150 ≫ 6300

O que deixa a alternativa 5 também errada!

Beleza? Espero ter ajudado!

Resposta

2 )

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