Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

Use o Método dos Multiplicadores de Lagrange para encontrar os pontos da superfície y 2 = 4 + x z que estão mais próximos da origem.

Passo 1

Ele quer o ponto com a menor distância, logo a distância até a origem é a função que ele quer minimizar.

A distância até a origem é:

d = x - 0 2 + y - 0 2 + z - 0 2  

Mas em vez de tentar minimizar isso, vamos minimizar o quadrado dessa distância, para não termos que trabalhar com raízes.

d 2 = f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

Agora que temos a função, precisamos da restrição, que vai ser nossa superfície. Para usar a Lagrange, precisamos fazer:

y 2 = 4 + x z

g x , y , z = y 2 - 4 - x z

Agora podemos montar nossas equações e achar os pontos que minimizam f na restrição, usando Lagrange:

∇ f x , y , z = λ ∇ g ( x , y , z )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para começar, vamos calcular o gradiente para f   e para g .

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

∇ f x , y , z = 2 x , 2 y , 2 z

g x , y , z = y 2 - 4 - x z

∇ g x , y , z = - z , 2 y , - x

Passo 3

Fazendo ∇ f x , y , z = λ ∇ g ( x , y , z ) , chegamos no sistema:

2 x , 2 y , 2 z = λ - z , 2 y , - x

Lembrando que a gente coloca a equação da restrição no sistema:

2 x = - λ z 2 y = λ 2 y 2 z = - λ x y 2 = 4 + x z

Olhando para segunda equação, temos dois casos:

y = 0

λ = 1

Vamos avaliar esses casos.

Passo 4

Caso 1: y = 0

Na quarta equação, se y = 0 , x z = - 4

Se a gente multiplicar a primeira equação por z e terceira por x , os termos da direita ficam iguais para as duas equações. Fica assim nosso sistema:

2 x z = - λ z 2 0 = λ 0 2 x z = - λ x 2 x z = - 4

Igualando a primeira e a terceira equação:

- λ z 2 = - λ x 2 ∴ z 2 = x 2

Elevando a quarta equação ao quadrado e substituindo z 2 = x 2 :

x 2 z 2 = 16 ∴ x 4 = 16 ∴ x = ± 2

Como x z = - 4 :

z = ∓ 2

( x e z precisam sempre ter sinais opostos)

Logo, aqui achamos os pontos:

2,0 , - 2 ,   ( - 2,0 , 2 )

Passo 5

Caso 2: λ = 1

O nosso sistema fica:

2 x = - z 2 y = 2 y 2 z = - x y 2 = 4 + x z

Da primeira equação, temos:

x = - z 2

Substituindo na terceira:

2 z = z 2 ∴ z = 0 ,   x = 0

Substituindo esses valores na quarta equação:

y 2 = 4 ∴ y = ± 2

Logo, achamos os pontos:

0,2 , 0 ,   ( 0 , - 2,0 )

Passo 6

Agora, o que a gente precisa fazer é substituir esse pontos em f ( x , y , z ) e ver para qual deles ela resulta no menor valor.

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

f 2,0 , - 2 = 8

f - 2,0 , 2 = 8

f 0 , - 2,0 = 4

f 0,2 , 0 = 4

Logo, os pontos mais próximos da origem que pertencem a superfície são 0 , - 2,0 e ( 0,2 , 0 ) .

Resposta

0,2 , 0 ,   ( 0 , - 2,0 )

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