Use o método dos multiplicadores de Lagrange para determinar o valor máximo da função

f x , y , z = x y z

Com a restrição

x + y + z = 1

Conclua que

x y z 3 ≤ x + y + z 3

Passo 1

Calcular gradiente da função:

∇ f x , y , z = y z ,   x z ,   x y

Passo 2

Pega a equação da curva e joga tudo para o lado esquerdo e deixe zero no lado direito:

x + y + z - 1 = 0

Passo 3

Definir função g x , y , z sendo o lado esquerdo da equação acima:

g x , y , z = x + y + z - 1

Passo 4

Calcular gradiente de g x , y , z :

∇ g x , y , z = 1,1 , 1

Passo 5

Utilizar multiplicador de Lagrange:

∇ f = λ ∇ g

⇒ y z ,   x z ,   x y = λ 1,1 , 1

Passo 6

Igualar coordenadas e encontrar sistema:

y z = λ x z = λ x y = λ

Passo 7

Adicionar equação da curva ao sistema encontrado acima:

Equação da curva: x + y + z - 1 = 0

y z = λ x z = λ x y = λ x + y + z = 1

Passo 8

Resolver o sistema:

Multiplicando cada uma das equações pela variável que ‘falta’, temos:

x y z = λ x x y z = λ y x y z = λ z x + y + z = 1

Somando as 3 primeiras equações:

3 x y z = λ x + y + z

Mas, da ultima equação, sabemos que:

x + y + z = 1

Assim:

3 x y z = λ

Repare que se λ = 0 , então uma das 3 variáveis deve ser nula. E, se uma das três variáveis for nula, nossa função f também será nula para esse valor e, assim, ele não pode ser o valor de máximo que estamos procurando.

Dessa forma, concluímos que λ ≠ 0 .

Substituindo 3 x y z = λ nas três primeiras equações do nosso sistema, ficamos com

y z = 3 x y z x z = 3 x y z x y = 3 x y z x + y + z = 1

Assim,

x = 1 3

y = 1 3

z = 1 3

⇒ P 0 = 1 3 , 1 3 , 1 3

Passo 9

Substituir o ponto encontrado:

f P 0 = 1 3 ∙ 1 3 ∙ 1 3 = 1 27

Ok, então P 0 é nosso ponto de máximo e f P 0 = 1 27 é o valor máximo da função.

Passo 10

Agora vamos ver se isso bate com a desigualdade que a questão falou:

x y z 3 ≤ x + y + z 3

Sendo f ( P 0 ) o valor máximo da função, isso significa que

f x , y , z ≤ f P 0

x y z ≤ 1 27

x y z 3 ≤ 1 3

Mas, da restrição, temos que

x + y + z = 1

Assim:

x y z 3 ≤ x + y + z 3

Resposta

O valor máximo da função é 1 27 .

Exercícios de Livros Relacionados

14. Utilize os Multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s). 14 )   f x 1 ,   x 2 , … , x n = x 1 + x 2 + … ...
(a) Se seu sistema de computação algébrica traça o gráfico de curvas definidas implicitamente, use-o para estimar os valores mínimo e máximo de f x ,   y = x 3 + y 3 + 3 x y sujeit...