Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

UFPE, Calculo 2, 2º EE - 2014.2, Questão 3

Use o método dos multiplicadores de Lagrange para determinar o valor máximo da função

f x , y , z = x y z

Com a restrição

x + y + z = 1

Conclua que

x y z 3 x + y + z 3

Passo 1

Calcular gradiente da função:

f x , y , z = y z ,   x z ,   x y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pega a equação da curva e joga tudo para o lado esquerdo e deixe zero no lado direito:

x + y + z - 1 = 0

Passo 3

Definir função g x , y , z sendo o lado esquerdo da equação acima:

g x , y , z = x + y + z - 1

Passo 4

Calcular gradiente de g x , y , z :

g x , y , z = 1,1 , 1

Passo 5

Utilizar multiplicador de Lagrange:

f = λ g

y z ,   x z ,   x y = λ 1,1 , 1

Passo 6

Igualar coordenadas e encontrar sistema:

y z = λ x z = λ x y = λ

Passo 7

Adicionar equação da curva ao sistema encontrado acima:

Equação da curva: x + y + z - 1 = 0

y z = λ x z = λ x y = λ x + y + z = 1

Passo 8

Resolver o sistema:

Multiplicando cada uma das equações pela variável que ‘falta’, temos:

x y z = λ x x y z = λ y x y z = λ z x + y + z = 1

Somando as 3 primeiras equações:

3 x y z = λ x + y + z

Mas, da ultima equação, sabemos que:

x + y + z = 1

Assim:

3 x y z = λ

Repare que se λ = 0 , então uma das 3 variáveis deve ser nula. E, se uma das três variáveis for nula, nossa função f também será nula para esse valor e, assim, ele não pode ser o valor de máximo que estamos procurando.

Dessa forma, concluímos que λ 0 .

Substituindo 3 x y z = λ nas três primeiras equações do nosso sistema, ficamos com

y z = 3 x y z x z = 3 x y z x y = 3 x y z x + y + z = 1

Assim,

x = 1 3

y = 1 3

z = 1 3

P 0 = 1 3 , 1 3 , 1 3

Passo 9

Substituir o ponto encontrado:

f P 0 = 1 3 1 3 1 3 = 1 27

Ok, então P 0 é nosso ponto de máximo e f P 0 = 1 27 é o valor máximo da função.

Passo 10

Agora vamos ver se isso bate com a desigualdade que a questão falou:

x y z 3 x + y + z 3

Sendo f ( P 0 ) o valor máximo da função, isso significa que

f x , y , z f P 0

x y z 1 27

x y z 3 1 3

Mas, da restrição, temos que

x + y + z = 1

Assim:

x y z 3 x + y + z 3

Resposta

O valor máximo da função é 1 27 .

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