Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

UFPE, Cálculo 2, EE2, 2016.1, questão 3

O plano x + y + 2 z = 2 intercepta o paraboloide z = x 2 + y 2 em uma elipse. Determine os pontos da elipse que estão mais próximos e mais longe da origem.

Passo 1

Primeiro, vamos encontrar a interseção. Substituindo a equação do plano no paraboloide, temos:

1 - x 2 - y 2 = x 2 + y 2

Ajeitando:

x 2 + x 2 + y 2 + y 2 - 1 = 0

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Passo 2

Esse problema pode ser resolvido pelos multiplicadores de Lagrange. A função que queremos maximizar e minimizar é a distancia, ou o equivalente, o quadrado dela. Temos:

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

Lembrando que na interseção:

z = 1 - x 2 - y 2

A função fica:

f x , y = x 2 + y 2 + 1 - x 2 - y 2 2

A restrição será:

g x , y = x 2 + x 2 + y 2 + y 2 - 1 = 0

Passo 3

Calculando os gradientes:

∇ f x , y = 2 x - 1 - x 2 - y 2 ,   2 y - 1 - x 2 - y 2

∇ g x , y = 2 x + 1 2 ,   2 y + 1 2

Passo 4

O sistema de equações será:

2 x - 1 - x 2 - y 2 = λ 2 x + 1 2 1 2 y - 1 - x 2 - y 2 = λ 2 y + 1 2 2 x 2 + x 2 + y 2 + y 2 = 1 3

Multiplicando a primeira equação por y e a segunda por x :, e subtraindo a segunda da primeira:

2 x y - y 1 - x 2 - y 2 - 2 x y + x 1 - x 2 - y 2 = λ y 2 x + 1 2 - λ x 2 y + 1 2

Ajeitando:

1 - x 2 - y 2 x - y = λ 2 x y + y 2 - 2 x y - x 2

1 - x 2 - y 2 x - y = - λ 2 x - y

Colocando em evidência:

x - y 2 - x - y + λ = 0

  • Caso 1
  • x = y

    Da equação 3 :

    2 y 2 + y - 1 = 0

    x = 1 2 ,   x = - 1

    Lembrando que z = 1 - x 2 - y 2

    Temos os pontos P 1 = 1 2 , 1 2 , 1 2 ; P 2 = - 1 , - 1,2

  • Caso 2

λ = x + y - 2

Da equação 1:

2 x - 1 - x 2 - y 2 = x + y - 2 2 x + 1 2

2 x + x + y - 2 = x + y - 2 2 x + 1 2

Ajeitando:

x + y - 2 2 x - 2 x - 1 2 = 0

x + y - 2 - 1 2 = 0

Logo x = 2 - y

Da equação 3 :

2 - y 2 + 2 - y 2 + y 2 + y 2 = 1

4 - 4 y + y 2 + 1 - y 2 + y 2 + y 2 = 1

y 2 - 2 y + 2 = 0

Logo, não há valores reais de y que satisfazem a equação.

Passo 5

Agora, devemos testar os pontos e ver os valores extremos:

D 2 P 1 = f P 1 = f 1 2 , 1 2 , 1 2 = 3 4

D P 1 = 3 2

D 2 P 2 = f P 2 = - 1 , - 1,2 = 6

D P 2 = 6

Logo, o ponto mais próximo da origem é P 1 = 1 2 , 1 2 , 1 2 e o ponto mais distante é P 2 = - 1 , - 1,2

Resposta

O ponto mais próximo da origem é P 1 = 1 2 , 1 2 , 1 2 e o ponto mais distante é P 2 = - 1 , - 1,2

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