Determine os valores para a ,   b   e   c de modo que o plano que passa pelo ponto ( 1 ,   2 ,   3 ) forme, com os planos coordenados, o tetraedro no primeiro octante de vértices ( 0 ,   0 ,   0 ) ,   ( a ,   0 ,   0 ) ,   ( 0 ,   b ,   0 )   e   ( 0 ,   0 ,   c ) de volume V   a ,   b ,   c = 1 6 a b c mínimo.

Passo 1

Oi, tudo bem? Vou te ajudar a resolver esse problema, vamos lá? O problema deu um plano (vamos recordar qual é a equação geral de um plano que passa pelo ponto ( x , y , z ) ?) que passa pelo ponto ( 1,2 , 3 ) e os planos coordenados

x a + y b + z c = 1

Com x , y , z = ( 1,2 , 3 ) e que o volume desse tetraedro que se forma deve ser mínimo

V   a ,   b ,   c = 1 6 a b c

Sendo assim, precisamos minimizar a função volume: multiplicadores de Lagrange!

A ideia aqui é encontrar a equação do plano formado pelos planos dos eixos e pela equação geral ali em cima: essa será nossa restrição. A função a ser minimizada é a do volume!

E depois? Depois aplicar a técnica dos multiplicadores!

Tranquilo?

Partiu começar?

Passo 2

Nossas funções

F = 1 6 a b c

G ( 1,2 , 3 ) = 1 a + 2 b + 3 c

Agora precisamos agras os gradientes

∇ F = 1 6 b c , 1 6 a c , 1 6 a b

∇ G = - 1 a 2 ,   - 2 b 2 ,   - 3 c 2

Fazendo ∇ F = λ ∇ G , ficamos com esse sistema aqui

1 6 b c = - λ a 2 1 6 a c = - 2 λ b 2 1 6 a b = - 3 λ c 2 1 a + 2 b + 3 c = 1

Sendo a , b , c positivos (eles são), concluímos que λ ≠ 0 . Agora partiu resolver esse sistema! Multiplicando a primeira equação por 6 a e a segunda por 6 b e a terceira por 6 c temos:

a b c = - 6 λ a a b c = - 6 2 λ b 2 a b c = - 6 3 λ c 2 1 a + 2 b + 3 c = 1

Agora podemos somar as três primeiras com a última:

3 a b c = - 6 λ 1 a + 2 b + 3 c = - 6 λ

Portanto a b c = - 2 λ

Beleza? Agora vamos substituir no nosso sistema

- 2 λ = - 6 λ a - 2 λ = - 6 2 λ b - 2 λ = - 6 3 λ c

Assim temos que

a = 3

b = 6

c = 9

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Por fim o valor mínimo do volume será

V = 1 6 a b c = 1 6 3.6 . 9 = 27

Belezinha?

Até a próxima!

Resposta

a = 3

b = 6

c = 9

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(a) Se seu sistema de computação algébrica traça o gráfico de curvas definidas implicitamente, use-o para estimar os valores mínimo e máximo de f x ,y = x 3 + y 3 + 3 x y sujeita a x - 3 2 + y - 3 2 =
9. Área de superfície mínima com volume fixo. Encontre as dimensões da lata cilíndrica circular reta fechada de menor área de superfície cujo volume seja .