Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

Maximize x 2 y 2 z 2 sujeito a x 2 + y 2 + z 2 = c , onde c é uma constante real positiva fixa. Qual é o valor máximo da função objetivo no conjunto determinado pela restrição?

Mostre que para todo x , y , z ∈ R ocorre

x 2 y 2 z 2 3 ≤ x 2 + y 2 + z 2

Passo 1

Verificar se há algum ponto crítico no interior da região:

Vamos fazer

F x , y , z = x 2 y 2 z 2

Calcular gradiente da função:

∇ T x , y , z = 2 x y 2 z 2 , 2 x 2 y z 2 , 2 x 2 y 2 z

O único ponto que faz isso ser 0 é o ponto 0,0 , 0 como c é positiva esse ponto está fora da restrição.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Verificar máximos e mínimos na fronteira da região:

Pegar equação da curva e jogar tudo para o lado esquerdo da equação e deixar zero no lado direito:

Equação da curva:

x 2 + y 2 + z 2 = c

⇒ x 2 + y 2 + z 2 - c = 0

Passo 3

Definir função g x , y , z sendo o lado esquerdo da equação acima:

g x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - c

Passo 4

Calcular gradiente de g x , y , z :

∇ g x , y , z = 2 x ,   2 y , 2 z

Passo 5

Utilizar multiplicador de Lagrange:

∇ T = λ ∇ g

⇒ 2 x y 2 z 2 , 2 x 2 y z 2 , 2 x 2 y 2 z = λ 2 x ,   2 y , 2 z

Passo 6

Igualar coordenadas e encontrar sistema:

2 x y 2 z 2 = λ 2 x 2 x 2 y z 2 = λ 2 y 2 x 2 y 2 z = λ 2 z

Passo 7

Adicionar a equação da curva ao sistema encontrado acima:

Equação da curva: x 2 + y 2 + z 2 = c

2 x y 2 z 2 = λ 2 x 2 x 2 y z 2 = λ 2 y 2 x 2 y 2 z = λ 2 z x 2 + y 2 + z 2 = c

Passo 8

Agora temos que resolver o sistema

Se considerarmos λ = 0 teremos uma situação igual a descrita no passo 1, que não é o que queremos.

Vamos dividir a primeira equação pela segunda

y x = x y

Isso nos diz que

y 2 = x 2

Se fizermos a mesma coisa com a primeira e a terceira vamos achar

z x = x z

Isso nos diz que

z 2 = x 2

Substituindo isso tudo na equação da restrição

x 2 + x 2 + x 2 = c

3 x 2 = c

x = ± c 3

Passo 9

Vamos ter

y = ± c 3  

z = ± c 3

Dessa forma temos nove pontos, fazendo as combinações de x , y e z mas repara que a função que queremos maximizar vai ser

F x , y , z = x 2 y 2 z 2

O sinal não faz diferença, todos vão chegar na mesma coisa

F x , y , z = ± c 3 2 ± c 3 2 ± c 3 2 = c 3 27

Então temos 9 pontos de máximo e o máximo da função vai ser c 3 27

Passo 10

Vamos ter

x 2 y 2 z 2 ≤ c 3 27

Para todo x , y , z ∈ R , vamos passar uma raiz cúbica

x 2 y 2 z 2 3 ≤ c 3

Lembrando que

c = x 2 + y 2 + z 2

x 2 y 2 z 2 3 ≤ x 2 + y 2 + z 2 3

Pronto demostramos o que ele pediu.

Resposta

M á x i m o = c 3 27

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