Os três números positivos suja soma é 12 e suja soma dos quadrados é a menor possível são:

x =

y =

z =

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O enunciado pediu três números que a soma está amarrada pela soma e a soma dos quadrados é a MAIOR possível, isso só tem um cheiro: de multiplicadores de Lagrange com uma restrição!

Como relembrar é viver, esse teorema nos diz que:

∇ S = λ ∇ g

Aqui a função S é a soma dos quadrados:

S = x 2 + y 2 + z 2

E g é a restrição da soma que tem que ser 12 :

g = x + y + z - 12

A ideia é calcular o gradiente dessas duas funções, colocar na equação dos multiplicadores. Depois disso, tentar eliminar o maior número de variáveis e substituir na restrição (da soma x + y + z = 12 ).

Mas relaxa, vou fazer passo a passo!

Vamos nessa?

Passo 2

A função soma:

S = x 2 + y 2 + z 2

E o gradiente:

∇ S = 2 x , 2 y , 2 z = ( x , y , z )

E a restrição:

g = x + y + z - 12 = 0

E o seu gradiente:

∇ g = ( 1,1 , 1 )

Agora vamos substituir na equação dos multiplicadores:

∇ S = λ ∇ g

x , y , z = λ ( 1,1 , 1 )

Daqui saem três equações:

1 : x = λ 2 : y = λ 3 : z = λ

E daqui tiramos uma conclusão interessante:

λ = x = y = z

E substituindo na restrição temos o seguinte:

x + y + z = 12

x + x + x = 12

3 x = 12 ∴ x = 4

E daí os outros números são:

y = z = 4

E o único ponto que achamos é:

( 4,4 , 4 )

Passo 3

Agora precisamos analisar se é ponto de mínimo!

Vamos para o teste da derivada segunda:

D = S x x S y y - S x y 2

A função soma deve estar em termos apenas de x e y . Mas temos a restrição que vai nos ajudar nisso!

A função soma:

S = x 2 + y 2 + z 2

E a restrição:

x + y + z = 12 ∴ z = 12 - x - y

E agora vamos substituir em S :

S = x 2 + y 2 + 12 - x - y 2

S = x 2 + y 2 + 144 - 24 x + y + x 2 + 2 x y + y 2

S = 2 x 2 + 2 y 2 + 2 x y - 24 x + y + 144

Beleza?

Agora as derivadas parciais. Começando em x :

S x = 4 x + 2 y - 24

S x x = 4

E em y :

S y = 4 y + 2 x - 24

S y y = 4

E a mista:

S x y = 2

Agora é só substituir em D :

D = 4.4 - 2 2 = 12 > 0

Como D > 0 E S x x > 0 o ponto ( 4,4 , 4 ) é ponto de MÍNIMO.

Então as coordenadas do ponto onde satisfaz a restrição dada são:

x = y = z = 4

Beleza?

Espero ter ajudado!

Resposta

x = y = z = 4

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