Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

UFRJ, Cálculo 2, PF 2013.1, questão discursiva 2

Considere a função f x , y = x 3 3 - 9 x + y 2

  1. Determine e classifique os pontos críticos de f em todo R 2
  2. Determine os pontos de máximo e mínimo de f sobre a circunferência: x - 3 2 + y 2 = 9
  3. Determine os valores máximos e mínimos de f no disco D = x , y ; x - 3 2 + y 2 ≤ 9 e os pontos onde esses valores ocorrem

Passo 1

  1. Vamos começar encontrando as derivadas parciais de f e igualando-as a zero.
  2. f x , y = x 3 3 - 9 x + y 2

    ⇒     f x x , y = x 2 - 9

    ⇒ f y x , y = 2 y

    Fazendo f x = 0 e f y = 0 , temos:

    x 2 - 9 = 0

    x = ± 3

    Ainda temos:

    2 y = 0

    y = 0

    Portanto, temos os pontos críticos:

    P 1 = 3,0 ,   P 2 = - 3,0

    Passo 2

    Então, vamos usar o teste da segunda derivada para classifica-los. Calculando as derivadas de segunda ordem:

    f x x = 2 x

    f x y = 0

    f y x = 0

    f y y = 2

    Passo 3

    Agora sim, vamos aplicar o teste da derivada segunda:

    H P 1 = f x x ( P 1 ) f x y P 1 f y x P 1 f y y ( P 1 ) = 6 0 0 2

    H P 1 = 12 > 0

    Como f x x P 1 > 0 , o ponto P 1 = 3,0 é de mínimo local. Fazendo o mesmo para P 2 :

    H P 2 = f x x ( P 2 ) f x y P 2 f y x P 2 f y y ( P 2 ) = - 6 0 0 2

    H P 2 = - 12 < 0

    Logo, o ponto P 2 = - 3,0 é ponto de sela.

    Passo 4

  3. Vamos usar os multiplicadores para resolver esse item. Já vimos que o gradiente de f é:
  4. ∇ f x , y = x 2 - 9 , 2 y

    Ajeitando a restrição, temos:

    x - 3 2 + y 2 - 9 = 0

    g x , y = x - 3 2 + y 2 - 9

    Calculando o gradiente de g x , y , temos:

    ∇ g x , y = 2 x - 3 ,   2 y

    Passo 5

    Vamos ter o seguinte sistema de equações:

    x 2 - 9 = λ 2 x - 3 1 2 y = λ 2 y 2 x - 3 2 + y 2 = 9 3

    Da equação 2 , temos:

    2 y 1 - λ = 0  

    Dois casos:

    → y = 0

    → λ = 1

    Caso 1:

    y = 0

    Da equação 3 :

    x - 3 2 = 9

    x = 0   o u   x = 6

    Portanto, temos os pontos:

    P 3 = 0,0 ,   P 4 = 6,0

    Passo 6

    Caso 2:

    → λ = 1

    Da equação 1 , temos:

    x + 3 x - 3 - 2 x - 3 = 0

    x - 3 x + 3 - 2 = 0

    x - 3 x + 1 = 0

    Temos duas possibilidades:

    → x = 3

    → x = - 1

    Caso 2.1:

    x = 3

    Da equação 3 , temos:

    0 2 + y 2 = 9

    y = ± 3

    Então, temos os pontos:

    P 5 = 3,3 ,   P 6 = 3 , - 3

    Caso 2.2:

    x = - 1

    Da equação 3 :

    16 + y 2 = 9 → y 2 < 0

    Logo, não há essa possibilidade.

    Passo 7

    Agora, devemos verificar em quais desses pontos a função assume o valor máximo ou mínimo:

    f P 3 = 0

    f P 4 = 18

    f P 5 = - 9

    f P 6 = - 9

    Logo, f tem ponto de máximo em 6,0 , assumindo o valor 18 , e tem pontos de mínimo em 3,3 e 3 , - 3 , assumindo o valor - 9 .

    Passo 8

  5. Perceba que o ponto P 1 pertence a esse disco, porém o ponto P 2 não. Então, ele não será candidato a máximo e mínimo. Agora, basta a gente verificar quais dos 5 pontos já encontrados, fornecem o maior e o menor valor da função.

Temos então:

f P 1 = - 18

f P 3 = 0

f P 4 = 18

f P 5 = - 9

f P 6 = - 9

Logo, a função f assume valor mínimo - 18 em 3,0 , e o valor máximo 18 em 6,0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Resposta

𝑎) Ponto P 1 = 3,0 é de mínimo local, e o ponto P 2 = - 3,0 é ponto de sela.

b) f tem ponto de máximo em 6,0 , assumindo o valor 18 , e tem pontos de mínimo em 3,3 e 3 , - 3 , assumindo o valor - 9 .

c) f assume valor mínimo - 18 em 3,0 , e o valor máximo 18 em 6,0 .

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