Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

Cálculo 2 UFRJ, P2 2014.1, questão 2

A temperatura em uma placa de metal é dada por

T x , y = 8 x 2 - 24 x y + y 2

  1. Determine e classifique os pontos críticos de T em todo R 2 .
  2. Determine os pontos onde ocorrem a maior e a menor temperatura na região

D = x , y ∈ R 2 ; 8 x 2 + y 2 ≤ 1

Passo 1

a)

Vamos calcular as derivadas parciais para encontrar os pontos críticos

T x = 16 x - 24 y

T y = - 24 x + 2 y

Os pontos críticos sao aqueles onde as duas derivadas parciais são zero, vamos achar o seguinte sistema

16 x - 24 y = 0 - 24 x + 2 y = 0

Da primeira equação temos

x = 24 y 16 = 3 y 2

Da segunda equação temos

x = 2 y 24 = y 12

Igualando os valores de x vamos ter

3 y 2 = y 12

Assim o y só pode ser zero, o que faz o x ser zero também

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O único ponto crítico que temos é 0,0 . Agora devemos calcular o determinante de

H 0,0 = T x x 0,0 T x y 0,0 T y x 0,0 T y y 0,0

Vamos primeiro achar as derivadas segundas

T x x = ∂ ∂ x ∂ T ∂ x = ∂ ∂ x 16 x - 24 y = 16

T y y = ∂ ∂ y ∂ T ∂ y = ∂ ∂ y - 24 x + 2 y = 2

T x y = ∂ ∂ x ∂ T ∂ y = ∂ ∂ x - 24 x + 2 y = - 24

Passo 3

Substituindo os valores do ponto vamos encontrar

T x x = 16

T y y = 2

T x y = - 24

Passo 4

Vamos agora calcular o determinante

H 0,0 = 16 - 24 - 24 2 = 16 ∙ 2 - - 24 ∙ - 24

H 0,0 = 32 - 576 = - 544

Temos que

H 0,0 < 0

Logo ele é um ponto de sela.

Passo 5

Temos uma região limitada, então sabemos que ela tem um valor de máximo e de mínimo global. Devemos achar todos os extremos da função e comparar os seus valores. Dentro de D o único ponto candidato é o 0,0 mas ele é ponto de sela então não é extremo.

Para a fronteira devemos usar multiplicadores de lagrange. Onde a curva fechada é

g x , y = 8 x 2 + y 2 - 1

e a nossa função em questão é

f x , y = T x , y

Passo 6

Devemos calcular

∇ T = λ ∇ g g x , y = 0

Vamos achar os gradientes de T e g

∇ T = 16 x - 24 y , - 24 x + 2 y

∇ g = 16 x , 2 y

Vamos ter então o seguinte sistema

16 x - 24 y = λ 16 x - 24 x + 2 y = λ 2 y 8 x 2 + y 2 - 1 = 0

Devemos resolver esse sistema.

Vamos isolar y na primeira equação

24 y = 16 x 1 - λ

Vamos agora isolar o x na segunda equação

24 x = 2 y 1 - λ

Se λ ≠ 1 , podemos dividir as duas equações que achamos ali em cima

y x = 8 x y

y 2 = 8 x 2

Agora que temos uma relação entre x e y podemos substituis na terceira equação

8 x 2 + 8 x 2 - 1 = 0

x 2 = 1 16

x = ± 1 4

Passo 7

Vamos agora achar o y ,

y 2 = 8 ∙ 1 16 = 1 2

y = ± 1 2

Achamos aqui 4 pontos

P 1 = 1 4 , 1 2

P 2 = 1 4 , - 1 2

P 3 = - 1 4 , 1 2

P 4 = - 1 4 , - 1 2

Lembra que falamos se λ ≠ 1 ? Vamos ver agora se λ = 1

Passo 8

Se λ = 1 vamos ter

24 y = 16 x 1 - 1 = 0

y = 0

e

24 x = 2 y 1 - 1 = 0

x = 0

Isso com as duas primeiras se substituirmos na terceira vamos ter

8 ∙ 0 2 + 0 2 - 1 = 0

O que não é possível. Então os únicos pontos são aqueles do passo 6

Passo 9

Agora vamos substituir esses pontos na função e ver, o maior vai ser o máximo e o menor vai ser o mínimo.

T x , y = 8 x 2 - 24 x y + y 2

T P 1 = 8 1 4 2 - 24 1 4 1 2 + 1 2 2

T P 1 = 8 16 - 6 2 + 1 2

T P 1 = 1 2 - 6 2 2 + 1 2

T P 1 = 1 - 3 2

T P 2 = 8 1 4 2 - 24 1 4 - 1 2 + - 1 2 2

T P 2 = 8 16 + 6 2 + 1 2

T P 2 = 1 2 + 6 2 2 + 1 2

T P 2 = 1 + 3 2

T P 3 = 8 - 1 4 2 - 24 - 1 4 1 2 + 1 2 2

T P 3 = 8 16 + 6 2 + 1 2

T P 3 = 1 2 + 6 2 2 + 1 2

T P 3 = 1 + 3 2

T P 4 = 8 - 1 4 2 - 24 - 1 4 - 1 2 + - 1 2 2

T P 4 = 8 16 - 6 2 + 1 2

T P 4 = 1 2 - 6 2 2 + 1 2

T P 4 = 1 - 3 2

Podemos perceber então que o máximo acontece em P 2 e P 3 e o mínimo acontece em P 1 e P 4

Resposta

  1. 0,0 → P o n t o   d e   S e l a
  2. 1 4 , 1 2   e   - 1 4 , - 1 2 → M í n i m o

1 4 , - 1 2   e   - 1 4 , 1 2 → M á x i m o

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