Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

Seja S o gráfico da função f x , y = x y ,   x , y ∈ R 2 .

a) Exiba um ponto ( x 0 ,   y 0 ,   z 0 ) ∈ S , ta que o plano tangente à S neste ponto é paralelo ao plano I I dado por x + 2 y + z 2 = 5

b) Seja α t = t 3 - t ,   t ,   - 3 ≤ t ≤ 3 .

i) Determine os pontos ( x ,   y ) dp traço de α onde a reta tangente é vertical, isto é, paralela ao eixo y .

ii) Exiba a parametrização da curva

γ : a ,   b → R 3 ,   γ t = x t ,   y t ,   z t

tal que o traço de γ está contigo no gráfico f (superfície S ) e a projeção ortogonal de γ no plano x y é a curva α . Explicite a ,   b ,   x t ,   y t ,   z t   e calcula γ 2 .

iii) Escreva o vetor velocidade da curva γ ( t ) em t = 2 e exiba a equação paramétrica da reta tangente à γ   em t = 2 .

Passo 1

Questão a:

O enunciado fala pra gente que f x , y =   x y . Quando ele não fala nada sobre a terceira variável, primeiro precisamos chamar f ( x , y ) de z , isolar tudo de um mesmo lado da equação e igualar a F ( x , y , z ) .

z = x y                   →                 F x , y , z = x y - z

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O enunciado fala que o plano tangente a função F ( x , y , z ) em um ponto ( x 0 ,   y 0 ,   z 0 ) é paralelo ao plano I I . Para que isso ocorra é preciso que o vetor normal ao plano tangente a S seja paralelo ao vetor normal ao plano I I . Como o vetor normal a uma função ou a um plano é o vetor gradiente temos:

∇ F x , y , z =   λ ∇ x + 2 y + z 2 - 5

∇ F x , y , z = y , x ,   - 1

∇ x + 2 y + z 2 - 5   = ( 1,2 , 1 2   )

Então vamos ter:

y , x , - 1 = λ ( 1,2 , 1 2   )

Agora só igualar cada variável:

y = λ 1

x = λ 2

- 1 = λ 1 2

Tiramos da terceira equação que λ = - 2   ,   portanto x = - 2   e y = - 2 . Além disso, sabemos que f x , y = x y , logo:

f - 4 , - 2 =   - 2 . - 4 → 8

Logo temos o ponto ( - 4 , - 2 ,   8 ) .

Passo 3

Questão b

i)

A primeira coisa a ser lembrada aqui é que o eixo y   pode ser representado pelo vetor 0,1 , ou qualquer outro múltiplo desse vetor, portanto a reta tangente a α deve ser paralela a esse vetor. Vamos começar achando a reta tangente à α . Para isso basta derivar o vetor posição α :

α t = t 3 - t , t

α ' t = 3 t 2 - 1 ,   1

Agora precisamos descobrir para qual valor de t esse plano tangente é paralelo à 0,1 . Para que isso aconteça é preciso que um seja múltiplo do outro, logo:

3 t 2 - 1 ,   1 = λ 0,1

3 t 2 - 1 = 0   →       t 2 = 1 3   →       t = ±   1 3   →       t = ± 3   3

Portanto o momento que isso ocorre é em t = 3   3 e t = - 3   3 . Como ambos os pontos então dentro da restrição que o enunciado deu pra gente vamos jogar de volta na equação para achar os pontos x , y :

α t = t 3 - t , t

α 3   3 = 3   3 3 - 3   3 , 3   3   =   - 2 3 9 , 3   3

α - 3   3 = - 3   3 3 + 3   3 , - 3   3     =     2 3 9 , - 3   3

Passo 4

ii)

Como a projeção ortogonal de γ no plano x y é a curva α vamos ter que:

x t = t 3 - t

y t = t

Além disso, como o traço de γ está contido no gráfico de f x , y = x y temos:

z = f x , y = x y

z t = f x t , y t = x t y t

x t y t = t 3 - t t → t 4 - t 2

No enunciado ele pede γ ( 2 ) , então é só substituir:

γ t = x t , y t , z t

y t = ( t 3 - t , t , t 4 - t 2 )

γ 2 = 2 3 - 2,2 , 2 4 - 2 2 → ( 6,2 , 12 )

Além disso, ele pede para acharmos o intervalo no qual a função varia. Como a função f ( x , y ) não possuiu nenhuma restrição, e α ( t ) é a única que possui restrição, vamos ter que a restrição de γ é igual a de α , ou seja, - 3 ≤ t ≤ 3 . Portanto a = - 3   e b = 3 .

Passo 5

iii)

Para isso basta derivar o vetor posição γ em t = 2 :

γ t = ( t 3 - t , t , t 4 - t 2 )

γ ' t = ( 3 t 2 - 1,1 ,   4 t 3 - 2 t )

γ ' ( 2 ) = 3 2 2 - 1,1 ,   4 2 3 - 22 → 11,1 ,   20

Além disso, o enunciado ainda pede a equação da reta parametrizada. Ela pode ser escrita da seguinte maneira:

r t = γ t 0 + γ ' t 0 t

γ 2 = ( 6,2 , 12 )

y ' 2 = 11,1 ,   20

r t = 6,2 , 12 + 11,1 ,   20 t

iV)

Para acharmos a equação do plano tangente a S em qualquer ponto basta sabermos o seguinte:

x - x o , y - y o , z - z o . n = 0

Onde n é um vetor normal ao plano.

Como sabemos que o vetor gradiente é um vetor normal ao plano, portanto:

P o = 6,2 , 12

∇ F x , y , z = y , x ,   - 1

∇ F ( P o ) X o , Y o , Z o = 2,6 ,   - 1

Organizando melhor a equação temos:

x , y , z 2,6 , - 1 = 2,6 , - 1 ( 6,2 , 12 )

2 x + 6 y - z = 12

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