1. (a) Utilize o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar as retas paralelas a reta x - y   =   0 e que sejam tangentes à elipse x 2   +   x y   +   y 2   =   3 . Encontre os pontos de tangência.

Passo 1

Fala, meus lindos e lindas 😊, tudo certinho com vocês? Bora pra questão sem pena. Primeiro, utilizaremos o método de multiplicadores de Lagrange essas retas com as regras que a questão entrega pra gente. Você sabe como funciona ele? Vamo lá que eu te ensino. Primeiro, vamos desenhar essas duas formas pra gente se localizar melhor:

Assim, vamos encontrar as retas pararelas à reta azul e tangente na elipse, logo a forma dela deve ser igual a:

Passo 2

Como vamos usar o método de multiplicadores de Lagrange, vamos atrás da coisa mais importante nesse método, lembra qual é? É a constante λ . Essa constante existe tal que:

∇ f x , y = λ ∇ g ( x , y )

E no caso da elipse, o g ( x , y ) consiste em:

g x , y = R

Pro nosso caso de R = 3 (constante do lado direito da igualdade), temos então que:

g x , y = 3

O próximo passo é a gente montar o sistema para ∇ = 1 ,     ∇ = - 1 :

∇ f x , y = λ ∇ g ( x , y )

Para

g x , y = f ' ( x , y )

Logo:

1 = λ ( 2 x + y )

- 1 = λ ( 2 x + y )

x 2 + x y + y 2 = 3

Isolando λ   na primeira e segunda equações, e igualando, obtemos:

λ = 1 2 x + y

λ = - 1 2 x + y

Isso significa que:

2 x + y = - 2 x - y

O que nos leva a:

- 3 x = 3 y

y = - x

Substituindo na última:

x 2 + x y + y 2 = 3

x 2 + x - x + - x 2 = 3

x 2 = 3

x = ± 3

Passo 3

Mas o que a gente faz com isso? Ora, isso significa pra gente que se:

x = ± 3

Então:

y = ∓ 3

E, portanto, obtemos aqui 2 pontos no formato ( x , y ):

P 1 = ( 3 , - 3 )

P 2 = ( - 3 , 3 )

Portanto, as retas são a curva de nível que passa por P1 e a curva de nível que passa por P2. Dessa forma, as retas que passam pelos 2 pontos, respectivamente:

x - y = f P 1

Aplicando:

3 - - 3 = x - y

Logo:

x - y = 2 3

Analogamente:

x - y = f P 2

- 3 - 3 = x - y

x - y = - 2 3

Plotando essas retas na nossa figura:

E é isso turminha! Finalizamos por aqui 😊. Se ainda restou alguma dúvida, ou gostaria de relatar alguma coisa, manda um feedback pra gente! Vamos adorar te responder, vai se rapidinho

Resposta

x - y = 2 3

x - y = - 2 3

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