Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

Multiplicadores de LaGrange

Três alelos (versões alternativas de um gene) A, B e O determinam os quatro tipos de sangue: A A A   o u   A O , B B B   o u   B O , O   O O , e A B . A Lei de Hardy-Weinberg afirma que a proporção de indivíduos em uma população que carregam dois alelos diferentes é P = 2 p q + 2 p r + 2 r q , em que p ,   q e r são as proporções de A , B e O   na população. Sabendo que p + q + r = 1 , determine a proporção máxima de indivíduos que carregam dois alelos em uma população.

Passo 1

Vamos lá... muito texto pra pouco informação. Vamos tentar deixar a questão mais objetiva, filtrando o que pudermos. Temos, então, o seguinte:

  • Uma função P p , q , r = 2 p q + 2 p r + 2 r q
  • Um outra função p + q + r = 1

Pelo enunciado, sabemos que a primeira é a “proporção dos que carregam dois alelos”, e a segunda só diz que a soma das proporções dá 1 (ou seja, eh como falar, por exemplo, que 20 % + 30 % + 50 % = 100 % ). E a pergunta é, sabendo essas duas funções, qual é o valor máximo de P p , q , r ?

Agora é a hora que você chega e pensa: temos uma função, que vai ser maximizada, e tem outra que limita ela... não é pra usar LaGrange? Exato, ótima proposta! Isso mesmo que vamos fazer :D

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então, vamos dar um nome pra nossa função que restringe a função de proporção. Vamos chamá-la de R .

R p , q , r = p + q + r - 1

Lembrando que a função é sempre no formato " c o i s a s   d e s s e   l a d o " = 0 , então passamos o 1 pro lado esquerdo também.

Agora, aplicando LaGrange, teremos:

∇ P p , q , r = λ ∇ R p , q , r

Passo 3

Então, vamos começar a calcular as derivadas parciais, que são as coordenadas do vetor gradiente.

Para a função P , temos:

P p , q , r = 2 p q + 2 p r + 2 r q

P p = 2 q + r

P q = 2 p + r

P r = 2 p + q

∇ P p , q , r = 2 q + r , 2 p + r ,   2 p + q

Para a função R , temos:

R p , q , r = p + q + r - 1

R p = 1

R q = 1

R r = 1

∇ R p , q , r = 1,1 , 1

E montando o nosso LaGrange de novo,

2 q + r , 2 p + r ,   2 p + q = λ 1,1 , 1 = λ , λ , λ

Passo 4

Agora chegou a parte chata, resolver o sistema. Vamos montar o sistema igualando cada coordenada do vetor gradiente de P à coordenada correspondente de ∇ R multiplicada por λ , mais a função restrição. Fica assim:

2 q + r = λ 2 p + r = λ 2 p + q = λ p + q + r - 1 = 0

Como temos λ no lado direito das três primeira equações, então parece uma boa ideia somar e subtrair essas equações uma da outra (pra acabar com o λ ). Subtraindo a primeira equação da segunda, temos:

2 p + 2 r - 2 q - 2 r = λ - λ

2 p - 2 q = 0

p = q

Subtraindo a segunda da terceira, teremos:

2 p + 2 q - 2 p - 2 r = λ - λ

2 q - 2 r = 0

q = r

Bom, juntando essas duas, se p = q e q = r , então, p = q = r !

Passo 5

Agora, só jogar essa relação p = q = r na equação da restrição, e teremos o valor de uma das incógnitas (que será o mesmo valor de todas as outras). Colocando todas iguais a p , por exemplo,

p + q + r - 1 = 0

3 p = 1

p = 1 3

Então,

p = q = r = 1 3

Passo 6

Pronto! Agora que temos o valor para as variáveis, só jogar na função da proporção:

P p , q , r = 2 p q + 2 p r + 2 r q

P 1 3 , 1 3 , 1 3 = 2 . 1 3 . 1 3 + 2 . 1 3 . 1 3 + 2 . 1 3 . 1 3 = 2 3

Legal, encontramos 2 3 como o valor máximo para essa proporção.

Mas será mesmo que ele é o valor máximo? Por que não seria né? Imagina que horrível chegar até aqui pra não encontrar valor máximo XD Mas falando sério, nunca esqueça de mostrar que esse valor que encontramos usando LaGrange é realmente maior que os valores na fronteira da restrição.

Para fazer isso, é só comparar o valor que encontramos usando LaGrande, ou seja, 2 3 , com os valores de P p , q , r na fronteira, ou seja, nos pontos 1,0 , 0 ,   0,1 , 0 , 0,0 , 1 .

Fazendo rapidinho aqui esses valores, temos:

  P 1,0 , 0 = 2.1 . 0 + 2.1 . 0 + 2.0 . 0 = 0

P 0,1 , 0 = 2.0 . 1 + 2.0 . 0 + 2.0 . 1 = 0

P 0,0 , 1 = 2.0 . 0 + 2.0 . 1 + 2.1 . 0 = 0

E é isso, como P 1 3 , 1 3 , 1 3 > P n a   f r o n t e i r a , então realmente encontramos um valor de máximo!

Resposta

O maior valor para essa proporção é 2 3

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