Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

Determine, se existirem, os pontos de máximo e mínimo absolutos de

f x , y , z = x 2 + 2 y - z

No domínio

D = x , y , z ∈ R 3   ; x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1

Passo 1

Precisamos, antes de mais nada, verificar as condições do Teorema de Weierstrass pra saber se existem pontos de máximo e mínimo.

Começamos verificando a continuidade da função f x , y , z = x 2 + 2 y - z

É uma função composta por funções contínuas (funções polinomiais), e portanto é contínua em todo R 3 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos verificar se o conjunto dado é fechado. Podemos reescrevê-lo como sendo:

D = x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1

Que é o interior e a fronteira de uma esfera de raio r = 1 e centro em 0,0 . Como a região contém a sua fronteira ela é fechada.

Passo 3

Verificar se o conjunto é limitado. Já vimos que a região D é o interior e a fronteira da esfera de raio r = 1 e centro em 0 , 0,0 .

Então, basta imaginar-mos uma esfera com centro em 0 , 0,0 e um raio grande, por exemplo, r = 100 para garantir que o conjunto D está totalmente contido nesse conjunto. Logo a região D é limitada.

Como todas as condições do teorema de Weierstrass são satisfeitas, podemos afirmar a existência de máximos e mínimos globois de f   no conjunto D .

Passo 4

Agora, podemos então começar a buscar os candidatos a máximo e mínimo.

Primeiro vamos encontrar os pontos críticos de f .

f x , y , z = x 2 + 2 y - z

f x = 2 x = 0

f y = 2 = 0

f z = - 1 = 0

2 = 0 e - 1 = 0 não faz o menor sentido né?

Isso significa que f não tem pontos críticos no interior da esfera. Assim, os nossos candidatos a máximo e mínimo estarão somente na casca x 2 + y 2 + z 2 = 1 da esfera.

Agora temos então um caso de procurar máximo e mínimo da função f , restritos a esfera.

Vamos portanto usar o método do multiplicador de lagrange.

Passo 5

Primeiro, vamos pegar a equação da esfera, jogar tudo pro lado esquerdo e chamar de g ( x , y , z ) .

g x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 1 = 0

Seu gradiente vai ficar:

∇ g x , y , z = ( 2 x , 2 y , 2 z )

Passo 6

Aplicando o método dos multiplicadores de Lagrange:

∇ f x , y , z = λ ∇ g x , y , z

⇒   2 x , 2 , - 1 = λ ( 2 x , 2 y , 2 z )

Igualando termo a termo e adicionando a equação da superfície de restrição, ficamos com o sistema

2 x = λ 2 x 1 2 = λ 2 y 2 - 1 = λ 2 z 3 x 2 + y 2 + z 2 = 1 4

Passo 7

Resolvendo o sistema, pela equação ( 1 ) temos

x = 0     o u     λ = 1

Então vamos ter 2 possibilidades:

  • x = 0
  • λ = 1

Vamos olhar caso por caso!

Passo 8

Começando pelo primeiro

Se x = 0 , a equação ( 4 ) fica:

y 2 + z 2 = 1

Agora, da equação ( 2 ) , podemos tirar que

λ y = 1 ⇒ y = 1 λ

E da equação ( 3 ) , temos que

λ z = - 1 2 ⇒ z = - 1 2 λ

Substituindo esses dois resultados em

y 2 + z 2 = 1

1 λ 2 + - 1 2 λ 2 = 1

1 λ 2 + 1 4 λ 2 = 1

4 λ 2 + λ 2 4 λ 4 = 1

5 λ 2 4 λ 4 = 1

5 = 4 λ 2

λ = ± 5 2

Assim,

y = 1 λ ⇒ y = ± 2 5

z = - 1 2 λ ⇒ z = ∓ 1 5

Dessa forma, obtemos 4 pontos candidatos: os pontos P 1 = ( 0 , 2 5 , 1 5 ) , P 2 = ( 0 , 2 5 , - 1 5 ) , P 3 = ( 0 , - 2 5 , 1 5 ) e P 4 = ( 0 , - 2 5 , - 1 5 ) .

Passo 9

Agora vamos ao segundo caso.

Se λ = 1 , pela equação ( 2 ) temos

2 = λ 2 y

y = 1

E pela equação ( 3 ) :

- 1 = λ 2 z

- 1 = 2 z

z = - 1 2

Substituindo na ( 4 ) :

x 2 + 1 2 + - 1 2 2 = 1

x 2 + 1 + 1 4 = 1

x 2 = - 1 4

Isso é impossível, portanto, o caso λ = 1 não nos deu novos pontos.

Passo 10

Recapitulando, achamos os pontos

P 1 = 0 , 2 5 , 1 5

P 2 = 0 , 2 5 , - 1 5

P 3 = 0 , - 2 5 , 1 5

P 4 = 0 , - 2 5 , - 1 5

Para saber quem desses pontos é o máximo e quem é o mínimo, é só calcular os valores da função f para cada um deles.

f x , y , z = x 2 + 2 y - z

f 0 , 2 5 , 1 5 = 0 2 + 2 . 2 5 - 1 5 = 3 5

f 0 , 2 5 , - 1 5 = 0 2 + 2 . 2 5 - - 1 5 = 5 5

f 0 , - 2 5 , 1 5 = 0 2 + 2 . - 2 5 - 1 5 = - 5 5

f 0 , - 2 5 , - 1 5 = 0 2 + 2 . - 2 5 - - 1 5 = - 3 5

Portanto, os pontos de máximo e mínimo de f , restrita à esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 , são os pontos 0 , 2 5 , - 1 5 (máximo), e 0 , - 2 5 , 1 5 (mínimo).

Resposta

Os pontos de máximo e mínimo de f , restrita à esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 , são os pontos 0 , 2 5 , - 1 5 (máximo), e 0 , - 2 5 , 1 5 (mínimo).

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