Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

UFPE, Cálculo 2, 2°EE, 2012.2, questão 5

Verifique que entre todos os triângulos, aquele cujo produto dos senos de seus ângulos internos é máximo, é o triângulo equilátero.

Lembrete: A soma dos ângulos internos de um triangulo é π

Passo 1

Sejam x , y , z os ângulos internos de um triângulo. A função que queremos maximizar é:

F x , y , z = s e n x s e n y s e n z

Sujeito a restrição:

x + y + z = π

G x , y , z = x + y + z - π

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Passo 2

Calculando os gradientes:

∇ F = cos ⁡ x s e n y s e n z , s e n x cos ⁡ y s e n z , s e n x s e n y cos ⁡ z

∇ G = 1 ,   1,1

Passo 3

Utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange:

∇ F = λ ∇ G

O sistema de equações fica:

cos ⁡ x s e n y s e n z = λ

sen ⁡ x c o s y s e n z = λ

sen ⁡ x s e n y c o s z = λ

x + y + z = π

Passo 4

Eliminando o parâmetro λ , vamos ter:

cos ⁡ x s e n y s e n z = sen ⁡ x c o s y s e n z

sen ⁡ x c o s y s e n z = sen ⁡ x s e n y c o s z

sen ⁡ x s e n y c o s z = cos ⁡ x s e n y s e n z

Ajeitando essas equações, temos:

cos ⁡ x s e n y s e n z - sen ⁡ x c o s y s e n z = 0

sen ⁡ x c o s y s e n z - sen ⁡ x s e n y c o s z = 0

sen ⁡ x s e n y c o s z - cos ⁡ x s e n y s e n z = 0

Colocando alguns termos em evidência:

s e n z cos ⁡ x s e n y - c o s y s e n x = 0

s e n x cos ⁡ y s e n z - c o s z s e n y = 0

s e n y cos ⁡ z s e n x - c o s x s e n z = 0

Usando a propriedade s e n a - b = s e n a cos ⁡ b - s e n b cos ⁡ a , temos:

s e n z s e n y - x = 0

s e n x s e n z - y = 0

s e n y s e n x - z = 0

Como 0 < x , y , z < π , segue que s e n x ≠ 0 , s e n y ≠ 0 ,   s e n z ≠ 0 . Logo, do sistema de equações:

s e n y - x = 0

s e n z - y = 0

s e n x - z = 0

Da primeira equação, a única possibilidade é:

y - x = 0

Pois 0 < x , y , z < π . Fazendo o mesmo para as outras duas equações:

z - y = 0

x - z = 0

Então temos:

x = y = z

Como x + y + z = π , temos:

x = y = z = π 3  

E o triângulo cujos ângulos internos valem π 3 é o triângulo equilátero.

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