Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

Multiplicadores de Lagrange

Seja c > 0 uma constante real. Calcule o valor máximo e o valor mínimo da função

f x , y , z = x 2 y 2 z 2

na esfera

x 2 + y 2 + z 2 = c 2

Passo 1

Temos que verificar máximos e mínimos da função sobre a superfície dada (esfera).

Para isso, calcular gradiente da função:

∇ f x , y , z = 2 x y 2 z 2 ,   2 y x 2 z 2 ,   2 z x 2 y 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pegar equação da superfície e jogar tudo para o lado esquerdo da equação e deixar zero no lado direito:

Equação da superfície:

x 2 + y 2 + z 2 = c 2

⇒ x 2 + y 2 + z 2 - c 2 = 0

Passo 3

Definir função g x , y , z sendo o lado esquerdo da equação acima:

g x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - c 2

Passo 4

Calcular gradiente de g x , y , z :

∇ g x , y , z = 2 x ,   2 y ,   2 z

Passo 5

Utilizar multiplicador de Lagrange:

∇ f = λ ∇ g

⇒ 2 x y 2 z 2 ,   2 y x 2 z 2 ,   2 z x 2 y 2 = λ 2 x ,   2 y ,   2 z

Passo 6

Igualar coordenadas e encontrar sistema:

2 x y 2 z 2 = λ 2 x   2 y x 2 z 2 = λ 2 y   2 z x 2 y 2 = λ 2 z

Dividindo por 2 todas as equações e jogando tudo para o lado esquerdo:

x y 2 z 2 - λ x = 0   y x 2 z 2 - λ y = 0   z x 2 y 2 - λ z = 0

Colocando algumas coisas em evidência:

x y 2 z 2 - λ = 0   y x 2 z 2 - λ = 0   z x 2 y 2 - λ = 0

Passo 7

Adicionar equação da superfície ao sistema encontrado acima:

Equação da superfície: x 2 + y 2 + z 2 = c 2

x y 2 z 2 - λ = 0   y x 2 z 2 - λ = 0   z x 2 y 2 - λ = 0   x 2 + y 2 + z 2 = c 2

Passo 8

Resolver o sistema:

Vamos supor que x ,   y ,   z são diferentes de zero. Assim, pelas três primeiras equações, temos que

y 2 z 2 - λ = 0   x 2 z 2 - λ = 0   x 2 y 2 - λ = 0

Ou seja:

λ = y 2 z 2   λ = x 2 z 2   λ = x 2 y 2

Como supomos que x , y , z são diferentes de zero, então, pelas equações acima, temos que λ ≠ 0 também!

Então podemos dividir a primeira equação pela segunda, termo a termo:

λ λ = y 2 z 2 x 2 z 2

Simplificando os dois lados:

1 = y 2 x 2

Multiplicando cruzado:

x 2 = y 2

Dividindo, agora, a segunda equação pela terceira, termo a termo:

λ λ = x 2 z 2 x 2 y 2

Simplificando e multiplicando cruzado:

1 = z 2 y 2

⇒ z 2 = y 2

Agora temos x 2 e z 2 em termos de y 2 . Vamos substituir na última equação:

x 2 + y 2 + z 2 = c 2

Substituindo:

y 2 + y 2 + y 2 = c 2

⇒ 3 y 2 = c 2

⇒ y 2 = c 2 3

Pronto! Descobrimos o valor de y 2 . Agora é só voltar e substituir para encontrar x 2 e z 2 :

Substituindo em x 2 :

x 2 = y 2

⇒ x 2 = c 2 3

Substituindo em z 2 :

z 2 = y 2

⇒ z 2 = c 2 3

Show! Temos, agora, os valores de x 2 , y 2 e z 2 :

x 2 = c 2 3   y 2 = c 2 3   z 2 = c 2 3

Agora é só tirar as raízes quadradas:

x = ± c 3   y = ± c 3   z = ± c 3

Ótimo! Mas isso se todas incógnitas forem diferentes de zero, lembra?

Passo 9

Se x = 0 ou y = 0 ou z = 0 , perceba que a nossa função seria

f x , y , z = x 2 y 2 z 2 = 0

Certo? Se, pelo menos uma dessas variáveis for zero, a função zera!

Vamos supor que λ = 0 agora.

Substituindo no sistema:

x y 2 z 2 = 0   y x 2 z 2 = 0   z x 2 y 2 = 0   x 2 + y 2 + z 2 = c 2

Então, pelas três primeiras equações, temos que pelo menos uma das variáveis x , y e z precisa ser igual a zero.

Pronto! Nem precisa fazer mais nada! Temos o mesmo caso: se, pelo menos uma variável for zero, então a função zera! De novo, teríamos que

f x , y , z = 0

Passo 10

Substituir pontos encontrados para determinar máximo e mínimo:

f x , y , z = x 2 y 2 z 2

Passo 11

Nos casos em que x = 0 , y = 0 , z = 0 ou λ = 0 , vimos que

f = 0

Passo 12

Agora precisamos analisar para os pontos que encontramos antes:

x = ± c 3   y = ± c 3   z = ± c 3

Perceba que temos oito pontos:

P = ± c 3 ,   ± c 3 ,   ± c 3

Oito porque temos duas opções de sinal para cada coordenada, certo?

Substituindo:

f P = ± c 3 2 ± c 3 2 ± c 3 2

⇒ f P = c 2 3 c 2 3 c 2 3

⇒ f P = c 2 3 3

⇒ f P = c 6 3 3

⇒ f P = c 6 27

Passo 13

Então, encontramos que f pode ser 0 , e c 6 / 27 .

Como c > 0 , logo, o valor máximo é c 6 / 27 .

Portanto, o valor mínimo é 0 .

Resposta

Valor máximo: c 6 / 27

Valor mínimo: 0

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